计算：-优题课

为了解学生的体能情况，随机选取了1000名学生进行调查，并记录了他们对长跑、短跑、跳绳、跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中" $\sqrt$ "表示喜欢，" $\times$ "表示不喜欢．

	长跑	短跑	跳绳	跳远
200	$\sqrt$	$\times$	$\sqrt$	$\sqrt$
300	$\times$	$\sqrt$	$\times$	$\sqrt$
150	$\sqrt$	$\sqrt$	$\sqrt$	$\times$
200	$\sqrt$	$\times$	$\sqrt$	$\times$
150	$\sqrt$	$\times$	$\times$	$\times$

（1）估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率；

（2）估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率；

（3）如果学生喜欢长跑、则该同学同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性大？

在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2, - 1)$ ， $B (3, - 3)$ ， $C (0, - 4)$

（1）画出 $ΔABC$ 关于原点 $O$ 成中心对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）画出△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

化简求值： $(\frac{a}{a + 2} + \frac{1}{a^{2} - 4}) \div \frac{a - 1}{a + 2} + \frac{1}{a - 2}$ ，其中 $a = 2 + \sqrt{2}$ ．

解不等式组 $\{\begin{matrix} x + 1 > \frac{3 x - 1}{2} \\ 2 x - (x - 3) ⩾ 5 \end{matrix}$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (b < 0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$ 轴的公共点坐标为 $(2, 0)$ ，求 $a$ 、 $c$ 满足的关系式；

（2）设 $A$ 为抛物线上的一定点，直线 $l : y = kx + 1 - k$ 与抛物线交于点 $B$ 、 $C$ ，直线 $BD$ 垂直于直线 $y = - 1$ ，垂足为点 $D$ ．当 $k = 0$ 时，直线 $l$ 与抛物线的一个交点在 $y$ 轴上，且 $ΔABC$ 为等腰直角三角形．

①求点 $A$ 的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$ ，都有 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线．