（本小题满分12分）已知、为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且-优题课

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中， $PA ⊥$ 底面 $ABCD$ ， $AD / / BC$ ， $AB = AD = AC = 3$ ， $PA = BC = 4$ ， $M$ 为线段 $AD$ 上一点， $AM = 2 MD$ ， $N$ 为 $PC$ 的中点．

（1）证明： $MN / /$ 平面 $PAB$ ；

（2）求直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成角的正弦值．

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

注：年份代码 $1 - 7$ 分别对应年份 $2008 - 2014$ ．

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，请用相关系数加以证明；

（Ⅱ）建立 $y$ 关于 $t$ 的回归方程（系数精确到 $0.01)$ ，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 9.32$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 40.17$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \overset{̅}{y})}^{2}} = 0.55$ ， $\sqrt{7} \approx 2.646$ ．

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \overset{̅}{t}) (y_{i} - \overset{̅}{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \overset{̅}{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \overset{̅}{y})}^{2}}}$ ，

回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \overset{̅}{t}) (y_{i} - \overset{̅}{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \overset{̅}{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \overset{̅}{y} - \hat{b} \overset{̅}{t}$ ．

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 1 + λ a_{n}$ ，其中 $λ \neq 0$ ．

（1）证明 ${a_{n}}$ 是等比数列，并求其通项公式；

（2）若 $S_{5} = \frac{31}{32}$ ，求 $λ$ ．

已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | 2 x - 3 |$ ．

（Ⅰ）在图中画出 $y = f (x)$ 的图象；

（Ⅱ）求不等式 $| f (x) | > 1$ 的解集．

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = a \cos t \\ y = 1 + a \sin t \end{matrix} (t$ 为参数， $a > 0)$ ．在以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2} : ρ = 4 \cos θ$ ．

（Ⅰ）说明 $C_{1}$ 是哪种曲线，并将 $C_{1}$ 的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = α_{0}$ ，其中 $α_{0}$ 满足 $\tan α_{0} = 2$ ，若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点都在 $C_{3}$ 上，求 $a$ ．