（本小题满分12分）如图，在三棱锥SABC中，△ABC是边长-优题课

已知数列。
（1）求的值；
（2）猜想的表达式并用数学归纳法证明。

用数学归纳法证明：

当实数取何值时，复数（其中是虚数单位）．
（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）等于零.

（1）求复数；（2）求的模．

（1）已知函数 $f (x) = r x - x^{`} + (1 - r) (x > 0)$ ，其中 $r$ 为有理数，且 $0 < r < 1$ . 求 $f (x)$ 的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设 $a_{1} \geq 0, a_{2} \geq 0$ ， $b_{1}, b_{2}$ 为正有理数. 若 $b_{1} + b_{2} = 1$ ，则 $a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} \leq a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ ；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：当 $α$ 为正有理数时，有求导公式 ${(x^{α})}^{`} = α x^{α - 1}$ .