（本小题满分10分）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交-优题课

（本小题满分10分）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。

科目数学题型解答题难度较易

知识点：圆内接四边形的性质

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $P$ 是 $⊙ O$ 外一点， $PB$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ， $PA$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，且 $AC = BC, PD ⊥ AB$ 于点 $D, E$ 是 $AB$ 的中点，求证: $PB = 2 DE$ .

如图，已知 $⊙ O$ 和 $⊙ O^{'}$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作 $⊙ O^{'}$ 的切线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $B$ 作两圆的割线分别交 $⊙ O, ⊙ O^{'}$ 于点 $E, F, EF$ 与 $AC$ 相交于点 $P$ .

（1）求证: $PA \cdot PE = PC \cdot PF$ ；

（2）求证: $\frac{P E^{2}}{P C^{2}} = \frac{PF}{PB}$ ；

（3）当 $⊙ O$ 与 $⊙ O^{'}$ 为等圆时，且 $PC : CE : EP = 3 : 4 : 5$ 时，求 $△ PEC$ 与 $△ FAP$ 的面积的比值.

已知等腰三角形 $△ ABC$ 中， $AB = AC, ∠ C$ 的平分线与 $AB$ 边交于点 $P$ ， $M$ 为 $△ ABC$ 的内切圆 $⊙ I$ 与 $BC$ 边的切点，作 $MD / / AC$ ，交 $⊙ I$ 于点 $D$ .

证明: $PD$ 是 $⊙ I$ 的切线.

如图， $△ ABC$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $BA$ 的延长线于点 $F, AE$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $EC$ .

（1）求证: $∠ ACF = ∠ B$ ；

（2）若 $AB = BC, AD ⊥ BC$ 于点 $D, FC = 4, FA = 2$ ，求 $AD \cdot AE$ 的值.

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C, D$ 是 $⊙ O$ 上不同的两点，直线 $BD$ 交线段 $OC$ 于点 $E$ ，交过点 $C$ 的直线 $CF$ 于点 $F$ ，若 $OC = 3 CE$ ，且 $9 (E F^{2} - C F^{2}) = O C^{2}$ .

（1）求证:直线 $CF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $OD, AD, AC, DC$ ，若 $∠ COD = 2 ∠ BOC$ .

①求证: $△ ACD \sim △ OBE$ ；

②过点 $E$ 作 $EG / / AB$ ，交线段 $AC$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $AC$ 的中点，若 $AD = 4$ ，求线段 $MG$ 的长度.