已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．（1）求证-优题课

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AC$ 是 $⊙ O$ 的弦， $OD ⊥ AB$ ， $OD$ 与 $AC$ 的延长线交于点 $D$ ，点 $E$ 在 $OD$ 上，且 $CE = DE$ ．

（1）求证：直线 $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OA = 2 \sqrt{3}$ ， $AC = 3$ ，求 $CD$ 的长．

有四张正面分别标有数字1，2， $- 3$ ， $- 4$ 的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地抽取一张不放回，将该卡片上的数字记为 $m$ ，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为 $n$ ．

（1）请用画树状图或列表法写出 $(m, n)$ 所有的可能情况；

（2）求所选的 $m$ ， $n$ 能使一次函数 $y = mx + n$ 的图象经过第一、三、四象限的概率．

为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，我国一艘海监船在 $A$ 处巡航时，监测到在正东方向的 $B$ 处有一艘可疑船只正匀速向正北方向航行，我国海监船立即沿北偏东 $45 °$ 方向对该船只实施拦截，航行 $60 nmile$ 后到达 $C$ 处，发现此时可疑船只在正东方向的 $D$ 处，我国海监船决定改变航向，沿北偏东 $60 °$ 方向继续加速航行，又航行 $60 nmile$ 后在 $E$ 处将该可疑船只成功拦截（结果保留根号）

（1）求当我国海监船到达 $C$ 处时，离可疑船只的距离 $CD$ ；

（2）成功拦截后，发现整个过程用时 $2 h$ ，求可疑船只的航行速度．

某校开展“阳光体育活动”，开设了以下体育项目：篮球、足球、乒乓球和羽毛球，要求每名学生必须且只能选择其中的一项．为了解选择各种体育项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并对调查获取的数据进行了整理，绘制出以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图回答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了　　名学生，其中选择篮球项目的学生有　　人．

（2）在扇形统计图中，选择乒乓球项目对应的扇形圆心角为　　 $°$ ．

（3）若该校共有1000名学生，则该校学生中选择羽毛球项目的大约有　　人．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ （点 $A$ 在原点的左侧，点 $B$ 在原点的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $OB = OC = 3$ ．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图1，连接 $BC$ ，点 $D$ 是直线 $BC$ 上方抛物线上的点，连接 $OD$ ， $CD$ ． $OD$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，当 $S_{ΔCOF} : S_{ΔCDF} = 3 : 2$ 时，求点 $D$ 的坐标．

（3）如图2，点 $E$ 的坐标为 $(0, - \frac{3}{2})$ ，点 $P$ 是抛物线上的点，连接 $EB$ ， $PB$ ， $PE$ 形成的 $ΔPBE$ 中，是否存在点 $P$ ，使 $∠ PBE$ 或 $∠ PEB$ 等于 $2 ∠ OBE$ ？若存在，请直接写出符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．