（本小题满分12分）数列的首项为，前n项和为，且．设，（Ⅰ）-优题课

（本小题满分12分）数列的首项为，前n项和为，且．设，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；

科目数学题型解答题难度较难

在 $△ ABC$ 中, 内角 $A, B, C$ 对边分别为 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 1 : \sqrt{2}, b = \sqrt{2}$ .

(1) 求 $a$ 的值.

(2) 求 $\cos C$ 的值.

(3) 求 $\sin (2 C - \frac{π}{6})$ 的值.

若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：只要 $a_{p} = a_{q} (p, q \in N^{*})$ ，必有 $a_{p + 1} = a_{q + 1}$ ，则称 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ．

（1）若 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = 3$ ， $a_{5} = 2$ ， $a_{6} + a_{7} + a_{8} = 21$ ，求 $a_{3}$ ；

（2）若无穷数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，无穷数列 ${c_{n}}$ 是公比为正数的等比数列， $b_{1} = c_{5} = 1$ ； $b_{5} = c_{1} = 81$ ， $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ ，判断 ${a_{n}}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

（3）设 ${b_{n}}$ 是无穷数列，已知 $a_{n + 1} = b_{n} + \sin a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证：“对任意 $a_{1}$ ， ${a_{n}}$ 都具有性质 $P$ ”的充要条件为“ ${b_{n}}$ 是常数列”．

已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ ．

（1）当 $a = 5$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

（2）若关于 $x$ 的方程 $f (x) - \log_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求 $a$ 的取值范围．

（3）设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2}$ ， $1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t$ ， $t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围．

双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{2}$ ，△ $F_{1} AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 $b = \sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $(\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B}) \cdot \vec{AB} = 0$ ，求 $l$ 的斜率．

有一块正方形 $EFGH$ ， $EH$ 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 $F$ 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，其中 $S_{1}$ 中的蔬菜运到河边较近， $S_{2}$ 中的蔬菜运到 $F$ 点较近，而菜地内 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的分界线 $C$ 上的点到河边与到 $F$ 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$ 为 $EF$ 的中点，点 $F$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，如图

（1）求菜地内的分界线 $C$ 的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S_{1}$ 面积是 $S_{2}$ 面积的两倍，由此得到 $S_{1}$ 面积的经验值为 $\frac{8}{3}$ ．设 $M$ 是 $C$ 上纵坐标为1的点，请计算以 $EH$ 为一边，另一边过点 $M$ 的矩形的面积，及五边形 $EOMGH$ 的面积，并判断哪一个更接近于 $S_{1}$ 面积的“经验值”．

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