如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB-优题课

如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0．780，cos51°18′≈0．625，tan51°18′≈1．248）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

如图，已知 $△ ABC$ 中， $D$ 是 $AB$ 的中点， $DC ⊥ AC, cos ∠ DCB = \frac{4}{5}$ ，求 $sin A$ 的值.

如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ A = 90^{\circ}$ ，作 $BC$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$ ，延长 $AC$ 至点 $E$ ，使 $CE = AB$ .

（1）若 $AE = 1$ ，求 $△ ABD$ 的周长;

（2）若 $AD = \frac{1}{3} BD$ ，求 $tan ∠ ABC$ 的值.

如图甲，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, AC = 4 cm, BC = 3 cm$ ，如果点 $P$ 由点 $B$ 出发沿 $BA$ 方向向点 $A$ 匀速运动，同时点 $Q$ 由点 $A$ 出发沿 $AC$ 方向向点 $C$ 匀速运动，它们的速度均为 $1 cm / s$ .连接 $PQ$ ，设运动时间为 $t (s) (0 < t < 4)$ ，解答下列问题:

（1）设 $△ APQ$ 的面积为 $S$ ，当 $t$ 为何值时， $S$ 取得最大值， $S$ 的最大值是多少?

（2）如图乙，连接 $PC$ ，将 $△ PQC$ 沿 $QC$ 翻折，得到四边形 $PQ P^{'} C$ ，当四边形 $PQ P^{'} C$ 为菱形时，求 $t$ 的值；

（3）当 $t$ 为何值时， $△ APQ$ 是等腰三角形?

如图，已知锐角 $△ ABC$ 的面积为 $1$ ，正方形 $DEFG$ 是 $△ ABC$ 的一个内接四边形， $DG / / BC$ ，求正方形 $DEFG$ 面积的最大值.

图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽 $AB = 1.2 cm$ ，托架斜面长 $BD = 6 cm$ ，它有 $C$ 到 $F$ 共4个挡位调节角度，相邻两个挡位间的距离为 $0.8 cm$ ，挡位 $C$ 到 $B$ 的距离为 $2.4 cm$ .将某型号手机置于托架上（图2，手机屏幕长 $AG$ 是 $15 cm$ ， $O$ 是支点且 $OB = OE = 2.5 cm$ （支架的厚度忽略不计）.求:

（1）当支架调到 $E$ 挡时，点 $G$ 离水平面的距离 $GH$ 为多少厘米；

（2）当支架从 $E$ 挡调到 $F$ 挡时，点 $D$ 离水平面的距离下降了多少厘米.

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