10月国庆佳节，景山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征-优题课

10月国庆佳节，景山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：

某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

已知， $ΔABC$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $P$ 是 $BC$ 边上一点，作 $∠ CPE = ∠ BPF$ ，分别交边 $AC$ ， $AB$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）若 $∠ CPE = ∠ C$ （如图 $1)$ ，求证： $PE + PF = AB$ ．

（2）若 $∠ CPE \neq ∠ C$ ，过点 $B$ 作 $∠ CBD = ∠ CPE$ ，交 $CA$ （或 $CA$ 的延长线）于点 $D$ ．试猜想：线段 $PE$ ， $PF$ 和 $BD$ 之间的数量关系，并就 $∠ CPE > ∠ C$ 情形（如图 $2)$ 说明理由．

（3）若点 $F$ 与 $A$ 重合（如图 $3)$ ， $∠ C = 27 °$ ，且 $PA = AE$ ．

①求 $∠ CPE$ 的度数；

②设 $PB = a$ ， $PA = b$ ， $AB = c$ ，试证明： $b = \frac{a^{2} - c^{2}}{c}$ ．

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在 $ΔABC$ 中， $AC = 6$ ， $BC = 3$ ， $∠ ACB = 30 °$ ，试判断 $ΔABC$ 是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2， $ΔABC$ 是“等高底”三角形， $BC$ 是”等底”，作 $ΔABC$ 关于 $BC$ 所在直线的对称图形得到△ $A^{'} BC$ ，连接 $AA'$ 交直线 $BC$ 于点 $D$ ．若点 $B$ 是△ $AA' C$ 的重心，求 $\frac{AC}{BC}$ 的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知 $l_{1} / / l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为2．“等高底” $ΔABC$ 的“等底” $BC$ 在直线 $l_{1}$ 上，点 $A$ 在直线 $l_{2}$ 上，有一边的长是 $BC$ 的 $\sqrt{2}$ 倍．将 $ΔABC$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $45 °$ 得到△ $A^{'} B^{'} C$ ， $A' C$ 所在直线交 $l_{2}$ 于点 $D$ ．求 $CD$ 的值．

已知，点 $M$ 为二次函数 $y = - {(x - b)}^{2} + 4 b + 1$ 图象的顶点，直线 $y = mx + 5$ 分别交 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ．

（1）判断顶点 $M$ 是否在直线 $y = 4 x + 1$ 上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点 $A$ ， $B$ ，且 $mx + 5 > - {(x - b)}^{2} + 4 b + 1$ ，根据图象，写出 $x$ 的取值范围．

（3）如图2，点 $A$ 坐标为 $(5, 0)$ ，点 $M$ 在 $ΔAOB$ 内，若点 $C (\frac{1}{4}$ ， $y_{1})$ ， $D (\frac{3}{4}$ ， $y_{2})$ 都在二次函数图象上，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．

如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱 $AC$ 垂直于地面 $AB$ ， $P$ 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 $ΔPDE$ ， $F$ 为 $PD$ 的中点， $AC = 2.8 m$ ， $PD = 2 m$ ， $CF = 1 m$ ， $∠ DPE = 20 °$ ，当点 $P$ 位于初始位置 $P_{0}$ 时，点 $D$ 与 $C$ 重合（图 $2)$ ．根据生活经验，当太阳光线与 $PE$ 垂直时，遮阳效果最佳．

（1）上午 $10 : 00$ 时，太阳光线与地面的夹角为 $65 °$ （图 $3)$ ，为使遮阳效果最佳，点 $P$ 需从 $P_{0}$ 上调多少距离？（结果精确到 $0.1 m)$

（2）中午 $12 : 00$ 时，太阳光线与地面垂直（图 $4)$ ，为使遮阳效果最佳，点 $P$ 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到 $0.1 m)$ （参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

小红帮弟弟荡秋千（如图 $1)$ ，秋千离地面的高度 $ℎ (m)$ 与摆动时间 $t (s)$ 之间的关系如图2所示．

（1）根据函数的定义，请判断变量 $ℎ$ 是否为关于 $t$ 的函数？

（2）结合图象回答：

①当 $t = 0.7 s$ 时， $ℎ$ 的值是多少？并说明它的实际意义．

②秋千摆动第一个来回需多少时间？