（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（1）解不等-优题课

题文

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式；
（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

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对于项数为m的有穷数列数集 ${a_{n}}$ ，记 $b_{k} = m a x {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}}$ （ $k = 1, 2, . . ., m$ ），即 $b_{k}$ 为 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 中的最大值，并称数列 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的 ${a_{n}}$ ；
（2）设 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列，满足 $a_{k} + b_{m - k + 1} = C$ （ $C$ 为常数， $k = 1, 2, . . ., m$ ）.求证： $b_{k} = a_{k}$ （ $k = 1, 2, . . ., m$ ）；
（3）设 $m = 100$ ，常数 $a \in (\frac{1}{2}, 1)$ .若 $a_{n} = a n^{2} - (- 1)^{\frac{n (n + 1)}{2}} n$ ， ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的控制数列，求 $(b_{1} - a_{1}) + (b_{2} - a_{2}) + . . . + (b_{100} - a_{100})$ .

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ .
（1）设 $F$ 是 $C$ 的左焦点， $M$ 是 $C$ 右支上一点. 若 $|M F| = 2 \sqrt{2}$ ，求过 $M$ 点的坐标；
（2）过 $C$ 的左顶点作 $C$ 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的
面积；
（3）设斜率为 $k (|k| < \sqrt{2})$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点，若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，
求证： $O P ⊥ O Q$ ；

海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里 $A$ 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 $y = \frac{12}{49} x^{2}$ ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 $t$ 小时后，失事船所在位置的横坐标为 $7 t$ .

（1）当 $t = 0.5$ 时，写出失事船所在位置 $P$ 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

已知函数 $f (x) = l g (x + 1)$ .
（1）若 $0 < f (1 - 2 x) - f (x) < 1$ ,求 $x$ 的取值范围；
（2）若 $g (x)$ 是以2为周期的偶函数,且当 $0 \leq x \leq 1$ 时,有 $g (x) = f (x)$ ,求函数 $y = g (x) (x \in [1, 2])$ 的反函数.

如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ 底面 A B C$ ， $D$ 是 $P C$ 的中点.已知 $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ .求：

（1）三棱锥 $P - A B C$ 的体积；
（2）异面直线 $B C$ 与 $A D$ 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

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