(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分-优题课

(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分)
已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点的纵坐标为，反比例函数的图像也经过点，第一象限内的点在这个反比例函数的图像上，过点作轴，交轴于点，且．
求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线的表达式．

科目数学题型解答题难度中等

如图，在 $△ ABC$ 中， $AB ＝ AC$ ，点D，E分别是AC和AB的中点．求证： $BD ＝ CE$ ．

如图，在直角坐标系中，四边形 $OABC$ 是平行四边形，经过 $A (- 2, 0)$ ， $B$ ， $C$ 三点的抛物线 $y = a x^{2} + bx + \frac{8}{3} (a < 0)$ 与 $x$ 轴的另一个交点为 $D$ ，其顶点为 $M$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$ 是抛物线上的点，使得 $ΔADR$ 的面积是 $▱ OABC$ 的面积的 $\frac{3}{4}$ ，求点 $R$ 的坐标；

（3）已知 $P$ 是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $MD$ 上存在唯一的点 $Q$ ，使得 $∠ PQE = 45 °$ ，求点 $P$ 的坐标．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 边于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ 于点 $F$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $R$ ， $AF = h$ ．

（1）过点 $D$ 作直线 $MN / / BC$ ，求证： $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $AB \cdot AC = 2 R \cdot h$ ；

（3）设 $∠ BAC = 2 α$ ，求 $\frac{AB + AC}{AD}$ 的值（用含 $α$ 的代数式表示）．

如图，著名旅游景区 $B$ 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行 $C$ 地，沿折线 $A \to C \to B$ 方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从 $A$ 地到景区 $B$ 的笔直公路．请结合 $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $BC = 100$ 千米， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ 等数据信息，解答下列问题：

（1）公路修建后，从 $A$ 地到景区 $B$ 旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加 $25 %$ ，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

如图，在直角坐标系中，直线 $y_{1} = ax + b$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 分别相交于第二、四象限内的 $A (m, 4)$ ， $B (6, n)$ 两点，与 $x$ 轴相交于 $C$ 点．已知 $OC = 3$ ， $\tan ∠ ACO = \frac{2}{3}$ ．

（1）求 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 对应的函数表达式；

（2）求 $ΔAOB$ 的面积；

（3）直接写出当 $x < 0$ 时，不等式 $ax + b > \frac{k}{x}$ 的解集．

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