（.重庆市A、B卷，第23题，10分）如果把一个自然数各数位-优题课

（.重庆市A、B卷，第23题，10分）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；[来。
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.

科目数学题型解答题难度中等

“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D 4$ 个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　　（填“普查”或“抽样调査” $)$ ，王老师所调查的4个班共征集到作品　　件，并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，表示 $C$ 班的扇形圆心角的度数为　　；

（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $BC$ 上的一点，点 $F$ 是 $CD$ 延长线上的一点，且 $BE = DF$ ，连结 $AE$ 、 $AF$ 、 $EF$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔADF$ ；

（2）若 $AE = 5$ ，请求出 $EF$ 的长．

计算： ${(- 1)}^{2019} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + | \sqrt{3} - 2 | + 3 \tan 30 °$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (- 3, 0)$ ，且 $OB = OC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在抛物线上，且 $∠ POB = ∠ ACB$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线上两点 $M$ ， $N$ ，点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，点 $N$ 的横坐标为 $m + 4$ ．点 $D$ 是抛物线上 $M$ ， $N$ 之间的动点，过点 $D$ 作 $y$ 轴的平行线交 $MN$ 于点 $E$ ．

①求 $DE$ 的最大值；

②点 $D$ 关于点 $E$ 的对称点为 $F$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $MDNF$ 为矩形．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AB$ 边上一点，以 $DE$ 为边作正方形 $DEFG$ ， $DF$ 与 $BC$ 交于点 $M$ ，延长 $EM$ 交 $GF$ 于点 $H$ ， $EF$ 与 $CB$ 交于点 $N$ ，连接 $CG$ ．

（1）求证： $CD ⊥ CG$ ；

（2）若 $\tan ∠ MEN = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{MN}{EM}$ 的值；

（3）已知正方形 $ABCD$ 的边长为1，点 $E$ 在运动过程中， $EM$ 的长能否为 $\frac{1}{2}$ ？请说明理由．

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