已知定义在区间上的函数，其中常数．（1）若函数分别在区间上单-优题课

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题文

已知定义在区间上的函数，其中常数．
（1）若函数分别在区间上单调，试求的取值范围；
（2）当时，方程有四个不相等的实根．
①证明：；
②是否存在实数，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：不定方程和方程组函数的基本性质

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如图， $⊙ O$ 和 $⊙ O `$ 相交于 $A, B$ 两点，过 $A$ 作两圆的切线分别交两圆于 $C, D$ 两点，连接 $D B$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ .证明

(Ⅰ) $A C \cdot B D = A D \cdot A B$ ；
(Ⅱ) $A C = A E$ .

设 $f (x) = \ln (x + 1) + \sqrt{x + 1} + a x + b (a, b \in R, a, b 为常数)$ ，曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = \frac{3}{2} x$ 在 $(0, 0)$ 点相切.
(Ⅰ)求 $a, b$ 的值。
(Ⅱ)证明：当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) < \frac{9 x}{x + 6}$ .

如图，椭圆 $C_{0} :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ , $a, b$ 为常数)，动圆 $C_{1} :$ $x^{2} + y^{2} = {t_{1}}^{2}$ ， $b < t_{1} < a$ .点 $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C_{0}$ 的左，右顶点， $C_{1}$ 与 $C_{0}$ 相交于 $A, B, C, D$ 四点.

（1）求直线 $A A_{1}$ 与直线 $A_{2} B$ 交点 $M$ 的轨迹方程;
（2）设动圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = {t_{2}}^{2}$ 与相交于 $A `, B `, C `, D `$ 四点，其中 $b < t_{2} < a$ ， $t_{1} \neq t_{2}$ 。若矩形 $A B C D$ 与矩形 $A ` B ` C ` D `$ 的面积相等，证明： ${t_{1}}^{2} + {t_{2}}^{2}$ 为定值.

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷"。
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关？

	非体育迷	体育迷	合计
男
女		10	55
合计

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的"体育迷"人数为 $X$ .若每次抽取的结果是相互独立的，求 $X$ 的分布列，期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ .

如图，直三棱柱 $A B C - A ` B ` C `$ ， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = λ A A `$ 点 $M, N$ 分别为 $A ` B$ 和 $B ` C `$ 的中点。

(Ⅰ)证明： $M N$ ∥平面 $A ` A C C `$ ;
(Ⅱ)若二面角 $A ` - M N - C$ 为直二面角，求 $λ$ 的值。

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