先化简，再求值：，其中.-优题课

某兴趣小组为了测量大楼 $CD$ 的高度，先沿着斜坡 $AB$ 走了52米到达坡顶点 $B$ 处，然后在点 $B$ 处测得大楼顶点 $C$ 的仰角为 $53 °$ ，已知斜坡 $AB$ 的坡度为 $i = 1 : 2.4$ ，点 $A$ 到大楼的距离 $AD$ 为72米，求大楼的高度 $CD$ ．

（参考数据： $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3})$

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $E$ 在 $AC$ 的延长线上， $ED ⊥ AB$ 于点 $D$ ，若 $BC = ED$ ，求证： $CE = DB$ ．

先化简，再求值： $(2 a - \frac{12 a}{a + 2}) \div \frac{a - 4}{a^{2} + 4 a + 4}$ ，其中 $a$ 满足 $a^{2} + 2 a - 3 = 0$ ．

计算： $2^{- 1} + | \sqrt{6} - 3 | + 2 \sqrt{3} \sin 45 ° - {(- 2)}^{2020} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2020}$ ．

如图1，在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ A = 120 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $AB$ 、 $AC$ 上， $AD = AE$ ，连接 $BE$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $DE$ 、 $BE$ 、 $BC$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $NM$ 、 $NP$ 的数量关系是　　， $∠ MNP$ 的大小为　　．

（2）探究证明

把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $MP$ 、 $BD$ 、 $CE$ ，判断 $ΔMNP$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $AD = 1$ ， $AB = 3$ ，请求出 $ΔMNP$ 面积的最大值．