（本题6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至-优题课

为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：

收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88

（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．

整理、描述数据：

成绩 $/$ 分	88	89	90	91	95	96	97	98	99
学生人数	2	1		3	2	1		2	1

数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表

平均数	众数	中位数
93		91

得出结论：

（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前 $50 %$ 的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为　　分．

数据应用：

（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前 $30 %$ 的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．

如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与直线 $y = \frac{1}{2} x + 3$ 分别相交于 $A$ ， $B$ 两点，且此抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．已知 $A (0, 3)$ ， $C (- 3, 0)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$ 上找一点 $M$ ，使 $| MB - MC |$ 的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$ 为 $y$ 轴右侧抛物线上一动点，连接 $PA$ ，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ PA$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，问：是否存在点 $P$ 使得以 $A$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $BC$ ， $AC$ 分别交于 $D$ ， $E$ 两点，过点 $D$ 作 $DH ⊥ AC$ 于点 $H$ ．

（1）判断 $DH$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）求证： $H$ 为 $CE$ 的中点；

（3）若 $BC = 10$ ， $\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $AE$ 的长．

（1）如图①，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，若 $AE$ 是 $∠ BAD$ 的平分线，试判断 $AB$ ， $AD$ ， $DC$ 之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长 $AE$ 交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，易证 $ΔAEB ≅ ΔFEC$ 得到 $AB = FC$ ，从而把 $AB$ ， $AD$ ， $DC$ 转化在一个三角形中即可判断．

$AB$ ， $AD$ ， $DC$ 之间的等量关系　　；

（2）问题探究：如图②，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $AF$ 与 $DC$ 的延长线交于点 $F$ ，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，若 $AE$ 是 $∠ BAF$ 的平分线，试探究 $AB$ ， $AF$ ， $CF$ 之间的等量关系，并证明你的结论．

近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级： $A$ ．非常了解； $B$ ．比较了解； $C$ ．基本了解； $D$ ．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．

对雾霾天气了解程度的统计表

对雾霾天气了解程度	百分比
$A$ ．非常了解	$5 %$
$B$ ．比较了解	$15 %$
$C$ ．基本了解	$45 %$
$D$ ．不了解	$n$

请结合统计图表，回答下列问题：

（1）本次参与调查的学生共有　　， $n =$ 　　；

（2）扇形统计图中 $D$ 部分扇形所对应的圆心角是　　度；

（3）请补全条形统计图；

（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．