（本小题满分12分）已知函数
其中
为常数，函数
和
的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行．
（1）求函数
的单调区间；
（2）若不等式
在区间
上恒成立，求实数
的取值范围．
（本小题满分12分）已知
，动点
满足
，设的轨迹为曲线
．
（1）求曲线的方程；
（2）过
的直线
与曲线交于
、
两点，过
与平行的直线
与曲线交于
、
两点，求四边形
的面积的最大值．
（本小题满分12分）如图，在三棱锥
中，底面
为直角三角形，且
，
底面，且
，点
是
的中点，
且交
于点
．
（1）求证：
平面
；
（2）当
时，求二面角
的余弦值．
（本小题满分12分）某工厂生产
、
两种元件，某质量按测试指标划分，指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
（1）试依据以频率估计概率的统计思想，分别估计元件，元件为正品的概率；
（2）生产一件元件，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下：
（i）记
为生产一件元件和1件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件元件所获得的利润不少于140元的概率．
（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，对任意
，总有
成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令
，求数列
的前项和
．
的圆心在
轴上，且圆
相切于点
．
为圆
为直线
上的动点，求
的最小值．