设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为-优题课

设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.

（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

科目数学题型解答题难度中等

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 $B C$ 的中点为 $M$ ， $G H$ 的中点为 $N$

（1）请将字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线 $M N ∥$ 平面 $B D H$

（3）求二面角 $A - E G - M$ 的余弦值

某市 $A, B$ 两所中学的学生组队参加辩论赛， $A$ 中学推荐3名男生，2名女生， $B$ 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求 $A$ 中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设 $X$ 表示参赛的男生人数，求 $X$ 得分布列和数学期望.

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{1}$ ，且 $a_{1}, a_{2} + 1, a_{3}$ 成等差数列.
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，求得 $|T_{n} - 1| < \frac{1}{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (b_{n + 1} - b_{n}), n \in N^{*}$ .
（1）若 $b_{n} = 3 n + 5$ ，且 $a_{1} = 1$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $\{a_{n}\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项，即 $a_{n_{0}} \geq a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项；
（3）设 $a_{1} = 3 λ < 0, b_{n} = λ^{n} (n \in N^{*})$ ，求 $λ$ 的取值范围，使得对任意 $m, n \in N^{*}, a_{n} \neq 0$ ，且 $\frac{a_{m}}{a_{n}} \in (\frac{1}{6}, 6)$ .

已知椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 、 $D$ ，设 $△ A O C$ 的面积为 $S$ .
（1）设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $C (x_{1}, y_{1})$ ，用 $A$ 、 $C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S = 2 |x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|$ ；
（2）设 $l_{1 : y = k x}$ ， $C (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ， $S = \frac{1}{3}$ ，求 $k$ 的值；
（3）设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $m$ ，求 $m$ 的值，使得无论 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 如何变动，面积 $S$ 保持不变.

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