如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（-优题课

如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（），点B的坐标为（3,0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．

（1）求点C的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，码头 $A$ 、 $B$ 分别在海岛 $O$ 的北偏东 $45 °$ 和北偏东 $60 °$ 方向上，仓库 $C$ 在海岛 $O$ 的北偏东 $75 °$ 方向上，码头 $A$ 、 $B$ 均在仓库 $C$ 的正西方向，码头 $B$ 和仓库 $C$ 的距离 $BC = 50 km$ ，若将一批物资从仓库 $C$ 用汽车运送到 $A$ 、 $B$ 两个码头中的一处，再用货船运送到海岛 $O$ ，若汽车的行驶速度为 $50 km / h$ ，货船航行的速度为 $25 km / h$ ，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛 $O$ ？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$

如图1，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 经过 $A (- 2 \sqrt{3}$ ， $0)$ 、 $B (0, - 2)$ 两点，点 $C$ 在 $y$ 轴上， $ΔABC$ 为等边三角形，点 $D$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 方向以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，设运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$ ，以 $DE$ 为边作矩形 $DEGF$ ，使点 $F$ 在 $x$ 轴上，点 $G$ 在 $AC$ 或 $AC$ 的延长线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将矩形 $DEGF$ 沿 $GF$ 所在直线翻折，得矩形 $D^{'} E^{'} GF$ ，当点 $D$ 的对称点 $D^{'}$ 落在抛物线上时，求此时点 $D^{'}$ 的坐标；

（3）如图2，在 $x$ 轴上有一点 $M (2 \sqrt{3}$ ， $0)$ ，连接 $BM$ 、 $CM$ ，在点 $D$ 的运动过程中，设矩形 $DEGF$ 与四边形 $ABMC$ 重叠部分的面积为 $S$ ，直接写出 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $t$ 的取值范围．

如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = BC$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $AC$ 、 $BC$ 边上， $DC = EC$ ，连接 $DE$ 、 $AE$ 、 $BD$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别是 $AE$ 、 $BD$ 、 $AB$ 的中点，连接 $PM$ 、 $PN$ 、 $MN$ ．

（1） $BE$ 与 $MN$ 的数量关系是　　；

（2）将 $ΔDEC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若 $CB = 6$ ， $CE = 2$ ，在将图1中的 $ΔDEC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转一周的过程中，当 $B$ 、 $E$ 、 $D$ 三点在一条直线上时， $MN$ 的长度为　　．

某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元 $/$ 千克，如果售价为20元 $/$ 千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元 $/$ 千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量 $y$ （千克）与售价 $x$ （元 $/$ 千克）之间存在一次函数关系．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）若樱桃的售价不得高于28元 $/$ 千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ， $E$ 、 $F$ 是 $⊙ O$ 上两点，连接 $AE$ 、 $CF$ 、 $DF$ ，满足 $EA = CA$ ．

（1）求证： $AE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为3， $\tan ∠ CFD = \frac{4}{3}$ ，求 $AD$ 的长．

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