（本题12分）已知
是定义在R上的偶函数，当
时，
（1）求
的值；
（2）求
的解析式并画出简图；
（3）讨论方程
的根的情况。
（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）
已知圆
，点
，点
在圆
上运动，
的垂直平分线交
于点
．
（1）求动点的轨迹
方程；
（2）过点
且斜率为
的动直线
交曲线于
两点，在
轴上是否存在定点
，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题9分）
如图所示，某市拟在长为
道路
的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段
，该曲线段为函数
的图像，且图像的最高点为
，赛道的后一部分为折线段
，且
．
（1）求
、
两点间的直线距离；
（2）求折线段赛道长度的最大值．
（本题满分14分，第（1）、（2）小题各3分；第（3）、（4）小题各4分）
请你指出函数
的基本性质（不必证明），并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明．
（1）当
时，等式
恒成立；
（2）若
，则一定有
；
（3）若
，方程
有两个不相等的实数解；
（4）函数
在
上有三个零点．
（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图，
是圆柱体
的一条母线，已知
过底面圆的圆心
，
是圆上不与点
重合的任意一点，
，
，
．
（1）求直线
与直线
所成角的大小；
（2）将四面体
绕母线旋转一周，求
的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
我们把一系列向量
按次序排成一列，称之为向量列，记作
，已知向量列满足：
，
．
（1）证明：数列
是等比数列；
（2）设
，问数列
中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由；
（3）设
表示向量
与
间的夹角，若
，对于任意正整数
，不等式
恒成立，求实数
的范围．