在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，小明要建造一个花园，并-优题课

某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：

最喜爱的节目	人数
歌曲	15
舞蹈	$a$
小品	12
相声	10
其它	$b$

（1）在此次调查中，该校一共调查了　　名学生；

（2） $a =$ 　　； $b =$ 　　；

（3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．

先化简，再求值： $(a - 1) \div (a + \frac{1}{a} - 2)$ ，其中 $a = - 1$ ．

如图，抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 2)$ ，点 $A$ 的坐标是 $(2, 0)$ ， $P$ 为抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $BC$ 于点 $E$ ，抛物线的对称轴是直线 $x = - 1$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $P$ 在第二象限内，且 $PE = \frac{1}{4} OD$ ，求 $ΔPBE$ 的面积．

（3）在（2）的条件下，若 $M$ 为直线 $BC$ 上一点，在 $x$ 轴的上方，是否存在点 $M$ ，使 $ΔBDM$ 是以 $BD$ 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 是有公共顶点的等腰直角三角形， $∠ BAC = ∠ DAE = 90 °$ ．

（1）如图1，连接 $BE$ ， $CD$ ， $BE$ 的延长线交 $AC$ 于点 $F$ ，交 $CD$ 于点 $P$ ，求证： $BP ⊥ CD$ ；

（2）如图2，把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，当点 $D$ 落在 $AB$ 上时，连接 $BE$ ， $CD$ ， $CD$ 的延长线交 $BE$ 于点 $P$ ，若 $BC = 6 \sqrt{2}$ ， $AD = 3$ ，求 $ΔPDE$ 的面积．

如图， $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $CE$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $CB$ 的延长线于点 $G$ ，过点 $B$ 作 $BF ⊥ GE$ 于点 $F$ ，交 $CE$ 的延长线于点 $A$ ．

（1）求证： $∠ ABG = 2 ∠ C$ ；

（2）若 $GF = 3 \sqrt{3}$ ， $GB = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．