如图，在△ABC中，ABAC，以AC为直径的⊙O交BC于点D-优题课

如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．

（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

科目数学题型解答题难度中等

为全面开展“大课间”活动，某校准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体工处根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图，请根据以上信息，完成下列问题：

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　，并将条形统计图补充完整；

（2）试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？

（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．

如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在 $A$ 处测得某无名小岛 $C$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，前进2海里到达 $B$ 点，此时测得无名小岛 $C$ 在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732)$

为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元 $/$ 个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的 $200 %$ ，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．

如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是第一象限抛物线上的一点，连接 $PA$ 、 $PB$ 、 $PO$ ，若 $ΔPOA$ 的面积是 $ΔPOB$ 面积的 $\frac{4}{3}$ 倍．

①求点 $P$ 的坐标；

②点 $Q$ 为抛物线对称轴上一点，请直接写出 $QP + QA$ 的最小值；

（3）点 $M$ 为直线 $AB$ 上的动点，点 $N$ 为抛物线上的动点，当以点 $O$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

已知， $ΔABC$ 为直角三角形， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $P$ 是射线 $CB$ 上一点（点 $P$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合），线段 $AP$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $AQ$ ，连接 $QB$ 交射线 $AC$ 于点 $M$ ．

（1）如图①，当 $AC = BC$ ，点 $P$ 在线段 $CB$ 上时，线段 $PB$ 、 $CM$ 的数量关系是　　；

（2）如图②，当 $AC = BC$ ，点 $P$ 在线段 $CB$ 的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图③，若 $\frac{AC}{BC} = \frac{5}{2}$ ，点 $P$ 在线段 $CB$ 的延长线上， $CM = 2$ ， $AP = 13$ ，求 $ΔABP$ 的面积．

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