（成都）（本小题满分6分）计算：．-优题课

如图①，直线 y＝ $\frac{1}{2}$ x﹣3与 x轴、 y轴分别交于点 B， C，抛物线 y＝ $\frac{1}{4} x^{2}$ + bx+ c过 B， C两点，且与 x轴的另一个交点为点 A，连接 AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 D（与点 A不重合），使得 S _△ _DBC＝ S _△ _ABC，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿 x轴方向平移，与 y轴平行的一组对边交抛物线于点 P和点 Q，交直线 CB于点 M和点 N，在矩形平移过程中，当以点 P， Q， M， N为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M的坐标．

牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式，甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元：甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．

（1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元？

（2）假设巴特尔生产的奶食品当日可以全部出售，且选择运费低的快递公司运送，若该产品每千克的生产成本 y ₁元（不含快递运费），销售价 y ₂元与生产量 x千克之间的函数关系式为： y ₁＝ $\{\begin{matrix} - 2 x + 58 (0 < x < 13) \\ 42 (x \geq 8) \end{matrix}$ ， y ₂＝﹣6 x+120（0＜ x＜13），则巴特尔每天生产量为多少千克时获得利润最大？最大利润为多少元？

如图，⊙ O是△ ABC的外接圆， AC是直径，弦 BD＝ BA， EB⊥ DC，交 DC的延长线于点 E．

（1）求证： BE是⊙ O的切线；

（2）当sin∠ BCE＝ $\frac{3}{4}$ ， AB＝3时，求 AD的长．

王阿姨家的阳台上放置了一个晾衣架，完全稳固张开如图①．图②，③是晾衣架的侧面展开图，△ AOB是边长为130 cm的等边三角形，晾衣架 OE， OF能以 O为圆心转动，且 OE＝ OF＝130 cm：在 OA， OB上的点 C， D处分别有支撑杆 CN， DM能以 C， D为圆心转动．

（1）如图②，若 EF平行于地面 AB，王阿姨的衣服穿在衣架上的总长度是110 cm，垂挂在晾衣杆 OE上是否会拖到地面上？说明理由．

（2）如图③，当支撑杆 DM支到点 M′，此时∠ EOB＝78°，点 E离地面距离最大．保证衣服不拖到地面上，衣服穿在衣架上的总长度最长约为多少厘米？（结果取整）参考数据：（ $\sqrt{3} \approx \frac{17}{10}$ ，sin78°≈ $\frac{49}{50}$ ，cos78°≈ $\frac{1}{5}$ ，sin18°≈ $\frac{3}{10}$ ，cos18°≈ $\frac{19}{20}$ ）

如图，在△ ABC中，∠ BAC＝45°， AD⊥ BC于点 D， BD＝6， DC＝4，求 AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：

（1）分别以 AB， AC所在直线为对称轴，画出△ ABD和△ ACD的对称图形，点 D的对称点分别为点 E， F，延长 EB和 FC相交于点 G，求证：四边形 AEGF是正方形；

（2）设 AD＝ x，建立关于 x的方程模型，求出 AD的长．