袋中有大小相同的红球和白球共5个，任意摸出一红球的概率是．求-优题课

“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？

2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；

（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

1）计算： $| \sqrt{3} - 2 | + π^{0} + {(- 1)}^{2019} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

（2）先化简，再求值： $1 - \frac{a + 3}{a^{2} - 1} \div \frac{a + 3}{a - 1}$ ，其中 $a = 2$ ；

（3）解方程组： $\{\begin{matrix} 2 x - y = 5, \\ 3 x + 4 y = 2 \cdot \end{matrix}$

已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $AB = 10 cm$ ， $BC = 8 cm$ ， $OD$ 垂直平分 $A$ $C$ ．点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $BA$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $DC$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 $P$ 作 $PE ⊥ AB$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $Q$ 作 $QF / / AC$ ，分别交 $AD$ ， $OD$ 于点 $F$ ， $G$ ．连接 $OP$ ， $EG$ ．设运动时间为 $t (s) (0 < t < 5)$ ，解答下列问题：

（1）当 $t$ 为何值时，点 $E$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上？

（2）设四边形 $PEGO$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使四边形 $PEGO$ 的面积最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 $OE$ ， $OQ$ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $OE ⊥ OQ$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“ $L$ ”形纸片，图②是一张 $a \times b$ 的方格纸 $(a \times b$ 的方格纸指边长分别为 $a$ ， $b$ 的矩形，被分成 $a \times b$ 个边长为1的小正方形，其中 $a ⩾ 2$ ， $b ⩾ 2$ ，且 $a$ ， $b$ 为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在 $2 \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于 $2 \times 2$ 的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在 $3 \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在 $3 \times 2$ 的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 $2 \times 2$ 方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 $3 \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 $2 \times 4 = 8$ 种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在 $a \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在 $a \times 2$ 的方格纸中，共可以找到　 $(a - 1)$ 　个位置不同的 $2 \times 2$ 方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 $a \times 2$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在 $a \times 3$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在 $a \times 3$ 的方格纸中，共可以找到　　个位置不同的 $2 \times 2$ 方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 $a \times 3$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

$\dots \dots$

问题解决：

把图①放置在 $a \times b$ 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． $)$

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 $a$ ， $b$ ， $c (a ⩾ 2$ ， $b ⩾ 2$ ， $c ⩾ 2$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正整数）的长方体，被分成了 $a \times b \times c$ 个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　　个图⑦这样的几何体．