（遂宁）计算：．-优题课

如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + mx + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(3, 0)$

（1）求 $m$ 的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点 $P$ 是抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，当 $PA + PC$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标．

为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出） $:$

根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次被调查的学生人数．

（2）将条形统计图补充完整．

（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数．

下列 $3 \times 3$ 网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：

（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．

（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．

（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．

（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）

如图，矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为 $BC$ 上一点， $F$ 为 $DE$ 的中点，且 $∠ BFC = 90 °$ ．

（1）当 $E$ 为 $BC$ 中点时，求证： $ΔBCF ≅ ΔDEC$ ；

（2）当 $BE = 2 EC$ 时，求 $\frac{CD}{BC}$ 的值；

（3）设 $CE = 1$ ， $BE = n$ ，作点 $C$ 关于 $DE$ 的对称点 $C'$ ，连接 $FC'$ ， $AF$ ，若点 $C'$ 到 $AF$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，求 $n$ 的值．

如图1，地面 $BD$ 上两根等长立柱 $AB$ ， $CD$ 之间悬挂一根近似成抛物线 $y = \frac{1}{10} x^{2} - \frac{4}{5} x + 3$ 的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离 $AB$ 为3米的位置处用一根立柱 $MN$ 撑起绳子（如图 $2)$ ，使左边抛物线 $F_{1}$ 的最低点距 $MN$ 为1米，离地面1.8米，求 $MN$ 的长；

（3）将立柱 $MN$ 的长度提升为3米，通过调整 $MN$ 的位置，使抛物线 $F_{2}$ 对应函数的二次项系数始终为 $\frac{1}{4}$ ，设 $MN$ 离 $AB$ 的距离为 $m$ ，抛物线 $F_{2}$ 的顶点离地面距离为 $k$ ，当 $2 ⩽ k ⩽ 2.5$ 时，求 $m$ 的取值范围．