（内江）（本小题满分9分）我市准备在相距2千米的M，N两工厂-优题课

在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、 $A 4$ 的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 $\sqrt{2} : 1$ ，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形” $ABCD$ 中， $P$ 为 $DC$ 边上一定点，且 $CP = BC$ ，如图所示．

（1）如图①，求证： $BA = BP$ ；

（2）如图②，点 $Q$ 在 $DC$ 上，且 $DQ = CP$ ，若 $G$ 为 $BC$ 边上一动点，当 $ΔAGQ$ 的周长最小时，求 $\frac{CG}{GB}$ 的值；

（3）如图③，已知 $AD = 1$ ，在（2）的条件下，连接 $AG$ 并延长交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $BF$ ， $T$ 为 $BF$ 的中点， $M$ 、 $N$ 分别为线段 $PF$ 与 $AB$ 上的动点，且始终保持 $PM = BN$ ，请证明： $ΔMNT$ 的面积 $S$ 为定值，并求出这个定值．

我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了 $m$ 名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．

根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　．

（2）补全上图中的条形统计图．

（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．

（4）在抽查的 $m$ 名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 代表）

如图， $∠ AOB = 90 °$ ，反比例函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象过点 $A (- 1, a)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象过点 $B$ ，且 $AB / / x$ 轴．

（1）求 $a$ 和 $k$ 的值；

（2）过点 $B$ 作 $MN / / OA$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于另一点 $C$ ，求 $ΔOBC$ 的面积．

某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取 $10 %$ 进行调查，根据调查结果绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图：

运动项目	频数（人数）
羽毛球	30
篮球	a
乒乓球	36
排球	b
足球	12

请根据以上图表信息解答下列问题：

（1）频数分布表中的a= 　，b=　　；

（2）在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为　　度；

（3）全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？

如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线相交于点 $O$ ， $⊙ M$ 为 $ΔBCD$ 的内切圆，切点分别为 $N$ ， $P$ ， $Q$ ， $DN = 4$ ， $BN = 6$ ．

（1）求 $BC$ ， $CD$ ；

（2）点 $H$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $AD$ 向点 $D$ 以每秒3个单位长度的速度运动，当点 $H$ 运动到点 $D$ 时停止，过点 $H$ 作 $HI / / BD$ 交 $AC$ 于点 $I$ ，设运动时间为 $t$ 秒．

①将 $ΔAHI$ 沿 $AC$ 翻折得△ $AH' I$ ，是否存在时刻 $t$ ，使点 $H'$ 恰好落在边 $BC$ 上？若存在，求 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

②若点 $F$ 为线段 $CD$ 上的动点，当 $ΔOFH$ 为正三角形时，求 $t$ 的值．