（遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥-优题课

（遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）求证：AD²=AM•AB；
（3）若AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．

科目数学题型解答题难度中等

（1）有三个不等式 $2 x + 3 < - 1$ ， $- 5 x > 15$ ， $3 (x - 1) > 6$ ，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；

（2）小红在计算 $a (1 + a) - {(a - 1)}^{2}$ 时，解答过程如下：

$a (1 + a) - {(a - 1)}^{2}$

$= a + a^{2} - (a^{2} - 1) \dots \dots$ 第一步

$= a + a^{2} - a^{2} - 1 \dots \dots$ 第二步

$= a - 1 \dots \dots$ 第三步

小红的解答从第　　步开始出错，请写出正确的解答过程．

已知抛物线： $y = a x^{2} - 3 ax - 4 a (a > 0)$ 与 $x$ 轴交点为 $A$ ， $B (A$ 在 $B$ 的左侧），顶点为 $D$ ．

（1）求点 $A$ ， $B$ 的坐标及抛物线的对称轴；

（2）若直线 $y = - \frac{3}{2} x$ 与抛物线交于点 $M$ ， $N$ ，且 $M$ ， $N$ 关于原点对称，求抛物线的解析式；

（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 $D'$ 在直线 $l : y = \frac{7}{8}$ 上，设直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $O'$ ，原抛物线上的点 $P$ 平移后的对应点为点 $Q$ ，若 $O' P = O' Q$ ，求点 $P$ ， $Q$ 的坐标．

如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，已知 $OA = OC$ ， $OB = OD$ ，过点 $O$ 作 $EF ⊥ BD$ ，分别交 $AB$ 、 $DC$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $DE$ ， $BF$ ．

（1）求证：四边形 $DEBF$ 是菱形：

（2）设 $AD / / EF$ ， $AD + AB = 12$ ， $BD = 4 \sqrt{3}$ ，求 $AF$ 的长．

某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有 $A$ ， $B$ 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾， $A$ 焚烧炉比 $B$ 焚烧炉多发电50度， $A$ ， $B$ 焚烧炉每天共发电55000度．

（1）求焚烧一吨垃圾， $A$ 焚烧炉和 $B$ 焚烧炉各发电多少度？

（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾， $A$ 焚烧炉和 $B$ 焚烧炉的发电量分别增加 $a %$ 和 $2 a %$ ，则 $A$ ， $B$ 焚烧炉每天共发电至少增加 $(5 + a) %$ ，求 $a$ 的最小值．

如图， $⊙ O$ 与等边 $ΔABC$ 的边 $AC$ ， $AB$ 分别交于点 $D$ ， $E$ ， $AE$ 是直径，过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $EF$ ，当 $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线时，求 $⊙ O$ 的半径 $r$ 与等边 $ΔABC$ 的边长 $a$ 之间的数量关系．