化简：．-优题课

某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由 $45 °$ 调为 $30 °$ ，如图，已知原滑滑板 $AB$ 的长为4米，点 $D$ ， $B$ ， $C$ 在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449)$

如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，点 $C (3, 1)$ ，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx - \frac{3}{2}$ 的图象经过点 $C$ ．

（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

（2）把 $ΔABC$ 沿 $x$ 轴正方向平移，当点 $B$ 落在抛物线上时，求 $ΔABC$ 扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点 $C$ 的点 $P$ ，使 $ΔABP$ 是以 $AB$ 为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，在直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $H$ 是 $ΔABC$ 的内心，

$AH$ 的延长线和三角形 $ABC$ 的外接圆 $O$ 相交于点 $D$ ，连接 $DB$ ．

（1）求证： $DH = DB$ ；

（2）过点 $D$ 作 $BC$ 的平行线交 $AC$ 、 $AB$ 的延长线分别于点 $E$ 、 $F$ ，已知 $CE = 1$ ，圆 $O$ 的直径为5．

①求证： $EF$ 为圆 $O$ 的切线；

②求 $DF$ 的长．

为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由 $A$ 、 $B$ 两个工程公司承担建设，已知 $A$ 工程公司单独建设完成此项工程需要180天， $A$ 工程公司单独施工45天后， $B$ 工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．

（1）求 $B$ 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？

（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工， $A$ 工程公司建设其中一部分用了 $m$ 天完成， $B$ 工程公司建设另一部分用了 $n$ 天完成，其中 $m$ ， $n$ 均为正整数，且 $m < 46$ ， $n < 92$ ，求 $A$ 、 $B$ 两个工程公司各施工建设了多少天？

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = kx + b (k \neq 0)$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，已知点 $A (m, 2)$ ，点 $B (- 1, - 4)$ ．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）把直线 $y_{1}$ 沿 $x$ 轴负方向平移2个单位后得到直线 $y_{3}$ ，直线 $y_{3}$ 与双曲线 $y_{2}$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，当 $y_{2} > y_{3}$ 时，求 $x$ 的取值范围．