（黔西南州）如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相-优题课

如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种： $A$ ．白开水， $B$ ．瓶装矿泉水， $C$ ．碳酸饮料， $D$ ．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；

（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？

饮品名称	白开水	瓶装矿泉水	碳酸饮料	非碳酸饮料
平均价格（元 $/$ 瓶）	0	2	3	4

（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为 $A$ ， $B$ ，其余三位记为 $C$ ， $D$ ， $E)$ 中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．

如图，已知：在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，延长 $BA$ 到点 $D$ ，使 $AD = \frac{1}{2} AB$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $BC$ ， $AC$ 的中点．求证： $DF = BE$ ．

先化简： $(\frac{3}{x - 1} - x - 1) \cdot \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点 $(A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $N$ ，过 $A$ 点的直线 $l : y = kx + n$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 的另一个交点为 $D$ ，已知 $A (- 1, 0)$ ， $D (5, - 6)$ ， $P$ 点为抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 上一动点（不与 $A$ 、 $D$ 重合）．

（1）求抛物线和直线 $l$ 的解析式；

（2）当点 $P$ 在直线 $l$ 上方的抛物线上时，过 $P$ 点作 $PE / / x$ 轴交直线 $l$ 于点 $E$ ，作 $PF / / y$ 轴交直线 $l$ 于点 $F$ ，求 $PE + PF$ 的最大值；

（3）设 $M$ 为直线 $l$ 上的点，探究是否存在点 $M$ ，使得以点 $N$ 、 $C$ ， $M$ 、 $P$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = 6$ ， $BC = 8$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ ， $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $ED ⊥ AD$ 交 $AB$ 于点 $E$ ， $ΔADE$ 的外接圆 $⊙ O$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $⊙ O$ 的半径 $r$ 及 $∠ 3$ 的正切值．