如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB-优题课

在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象与一次函数 $y = x + 2$ 图象的一个交点为 $P$ ，且点 $P$ 的横坐标为1，求该反比例函数的解析式．

一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $BC$ ， $CD$ 上，且 $BE = CF$ ，求证： $ΔABE ≅ ΔBCF$ ．

某同学化简 $a (a + 2 b) - (a + b) (a - b)$ 出现了错误，解答过程如下：

原式 $= a^{2} + 2 ab - (a^{2} - b^{2})$ （第一步）

$= a^{2} + 2 ab - a^{2} - b^{2}$ （第二步）

$= 2 ab - b^{2}$ （第三步）

（1）该同学解答过程从第　　步开始出错，错误原因是　　；

（2）写出此题正确的解答过程．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ABCD$ 的对称中心为坐标原点 $O$ ， $AD ⊥ y$ 轴于点 $E$ （点 $A$ 在点 $D$ 的左侧），经过 $E$ 、 $D$ 两点的函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + mx + 1 (x ⩾ 0)$ 的图象记为 $G_{1}$ ，函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - mx - 1 (x < 0)$ 的图象记为 $G_{2}$ ，其中 $m$ 是常数，图象 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 合起来得到的图象记为 $G$ ．设矩形 $ABCD$ 的周长为 $L$ ．

（1）当点 $A$ 的横坐标为 $- 1$ 时，求 $m$ 的值；

（2）求 $L$ 与 $m$ 之间的函数关系式；

（3）当 $G_{2}$ 与矩形 $ABCD$ 恰好有两个公共点时，求 $L$ 的值；

（4）设 $G$ 在 $- 4 ⩽ x ⩽ 2$ 上最高点的纵坐标为 $y_{0}$ ，当 $\frac{3}{2} ⩽ y_{0} ⩽ 9$ 时，直接写出 $L$ 的取值范围．