如图，在平面直角坐标系中，矩形$\mathit{ABCD}$的对称中心为坐标原点$O$，$\mathit{AD}\perp y$轴于点$E$（点$A$在点$D$的左侧），经过$E$、$D$两点的函数$y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{mx}+1(x⩾0)$的图象记为$G_1$，函数$y=-\frac{1}{2}{x}^2-\mathit{mx}-1(x<0)$的图象记为$G_2$，其中$m$是常数，图象$G_1$、$G_2$合起来得到的图象记为$G$．设矩形$\mathit{ABCD}$的周长为$L$．

（1）当点$A$的横坐标为$-1$时，求$m$的值；

（2）求$L$与$m$之间的函数关系式；

（3）当$G_2$与矩形$\mathit{ABCD}$恰好有两个公共点时，求$L$的值；

（4）设$G$在$-4⩽x⩽2$上最高点的纵坐标为$y_0$，当$\frac{3}{2}⩽y_0⩽9$时，直接写出$L$的取值范围．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 矩形的性质 二次函数综合题