如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝12，AB＝CD，BD-优题课

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $BC$ 上，点 $F$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $BE = CF$ ．

求证：（1） $ΔABE ≅ ΔDCF$ ；

（2）四边形 $AEFD$ 是平行四边形．

先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{x}{x + 2}) \cdot \frac{1}{x - 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

计算： ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} + | - 3 | - \sqrt[3]{27} + {(- 1)}^{2021}$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + c (a$ ， $c$ 为常数， $a \neq 0)$ 经过点 $C (0, - 1)$ ，顶点为 $D$ ．

（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）当 $a > 0$ 时，点 $E (0, 1 + a)$ ，若 $DE = 2 \sqrt{2} DC$ ，求该抛物线的解析式；

（Ⅲ）当 $a < - 1$ 时，点 $F (0, 1 - a)$ ，过点 $C$ 作直线 $l$ 平行于 $x$ 轴， $M (m, 0)$ 是 $x$ 轴上的动点， $N (m + 3, - 1)$ 是直线 $l$ 上的动点．当 $a$ 为何值时， $FM + DN$ 的最小值为 $2 \sqrt{10}$ ，并求此时点 $M$ ， $N$ 的坐标．

在平面直角坐标系中， $O$ 为原点， $ΔOAB$ 是等腰直角三角形， $∠ OBA = 90 °$ ， $BO = BA$ ，顶点 $A (4, 0)$ ，点 $B$ 在第一象限，矩形 $OCDE$ 的顶点 $E (- \frac{7}{2}$ ， $0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在第二象限，射线 $DC$ 经过点 $B$ ．

（Ⅰ）如图①，求点 $B$ 的坐标；

（Ⅱ）将矩形 $OCDE$ 沿 $x$ 轴向右平移，得到矩形 $O' C' D' E'$ ，点 $O$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为 $O'$ ， $C'$ ， $D'$ ， $E'$ ．设 $OO' = t$ ，矩形 $O' C' D' E'$ 与 $ΔOAB$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

①如图②，当点 $E'$ 在 $x$ 轴正半轴上，且矩形 $O' C' D' E'$ 与 $ΔOAB$ 重叠部分为四边形时， $D' E'$ 与 $OB$ 相交于点 $F$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $S$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围；

②当 $\frac{5}{2} ⩽ t ⩽ \frac{9}{2}$ 时，求 $S$ 的取值范围（直接写出结果即可）．