已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）＋f-优题课

题文

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）＝－．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在[－3，6]上的最大值与最小值

科目数学题型解答题难度较易

知识点：函数的基本性质

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如图,四棱锥 $P - A B C D$ 中,底面 $A B C D$ 为平行四边形, $∠ D A B = 60^{°}, A B = 2 A D, P D ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)证明: $P A ⊥ B D$ ;

(2)设 $P D = A D = 1$ ,求棱锥 $D - P B C$ 的高.

已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{3}, q = \frac{1}{3}$ ，
（1） $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项的和，证明： $S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2}$ .
（2）设 $b_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + . . . + \log_{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

已知平面上的线段 $l$ 及点 $P$ ，在 $l$ 上任取一点 $Q$ ，线段 $P Q$ 长度的最小值称为点 $P$ 到线段 $l$ 的距离，记作 $d (P, l)$ .
⑴ 求点 $P (1, 1)$ 到线段 $l : x - y - 3 = 0 (3 \leq x \leq 5)$ 的距离 $d (P, l)$ ；
⑵ 设 $l$ 是长为2的线段，求点集 $D = \{P | d (P, l) \leq 1\}$ 所表示图形的面积；
⑶ 写出到两条线段 $l_{1}, l_{2}$ 距离相等的点的集合 $Ω = \{P | d (P, l_{1}) = d (P, l_{2})\}$ ，其中 $l_{1} = A B, l_{2} = C D$ ，
$A, B, C, D$ 是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① $A (1, 3), B (1, 0), (- 1, 3), D (- 1, 0)$ .
② $A (1, 3), B (1, 0), (- 1, 3), D (- 1, - 2)$ .
③ $A (0, 1), B (0, 0), (0, 0), D (2, 0)$ .

已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 3 n + 6$ , $b_{n} = 2 n + 7$ （ $n \in N^{*}$ ），将集合
${x | x = a_{n}, n \in N^{*}} \cup {x | x = b_{n}, n \in N^{*}}$ 中的元素从小到大依次排列，构成数列 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{n}, \dots$ 。
⑴ 求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ ；
⑵ 求证：在数列 ${c_{n}}$ 中、但不在数列 ${b_{n}}$ 中的项恰为 $a_{2}, a_{4}, \dots, a_{2 n}, \dots$ ；
⑶ 求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式。

已知 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是底面边长为1的正四棱柱， $O_{1}$ 是 $A_{1} C_{1}$ 和 $B_{1} D_{1}$ 的交点.
⑴ 设 $A B_{1}$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的角的大小为 $α$ ，二面角 $A - B_{1} D_{1} - A_{1}$ 的大小为 $β$ .求证： $\tan β = \sqrt{2} \tan α$ ；
⑵ 若点 $C$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ ，求正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高.

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