如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过-优题课

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了 $20 %$ ，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．

（1）求第一次每件的进价为多少元？

（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？

某校为提高学生的综合素养，准备开展摄影、书法、绘画、表演、手工五类社团活动．为了对此项活动进行统筹安排，随机抽取了部分学生进行调查，要求每人从五个类别中只选择一个，将调查结果绘制成了两幅统计图（未完成）．请根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了　　名学生；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）扇形统计图中，"摄影"所占的百分比为　　；"手工"所对应的圆心角的度数为　　．

（4）若该校共有2700名学生，请估计选择"绘画"的学生人数．

先化简 $(\frac{a^{2} - 1}{a - 3} - a - 1) \div \frac{a + 1}{a^{2} - 6 a + 9}$ ，然后从 $- 1$ ，0，1，3中选一个合适的数作为 $a$ 的值代入求值．

如图1， $O$ 为半圆的圆心， $C$ 、 $D$ 为半圆上的两点，且 $\hat{BD} = \hat{CD}$ ．连接 $AC$ 并延长，与 $BD$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）求证： $CD = ED$ ；

（2） $AD$ 与 $OC$ ， $BC$ 分别交于点 $F$ ， $H$ ．

①若 $CF = CH$ ，如图2，求证： $CF \cdot AF = FO \cdot AH$ ；

②若圆的半径为2， $BD = 1$ ，如图3，求 $AC$ 的值．

二次函数 $y = a x^{2} + bx + 4 (a \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 4, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $BP$ 、 $AC$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $BC$ ，当 $∠ DPB = 2 ∠ BCO$ 时，求直线 $BP$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{PQ}{QB}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

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