如图，已知椭圆（）经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆-优题课

题文

如图，已知椭圆（）经过点，离心率，直线的方程为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）是经过椭圆右焦点的任一弦（不经过点），设直线与相交于点，记，，的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

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(本小题满分14分)
求证：;

已知复数当实数取什么值时，复数是：
（1）零；（２）纯虚数；　（３）

已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + k}{e^{x}}$ 为常数， $e$ =2.71828…是自然对数的底数)，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行.
(Ⅰ)求 $k$ 的值；
(Ⅱ)求 $f (x)$ 的单调区间；
(Ⅲ)设 $g (x) = x f (x)$ ，其中 $f^{`} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.证明：对任意 $x > 0, g (x) < 1 + e^{- 2}$ .

如图，椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $x = \pm a$ 和 $y = \pm b$ 所围成的矩形 $A B C D$ 的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆 $M$ 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线 $l : y = x + m (m \in R)$ 与椭圆 $M$ 有两个不同的交点 $P, Q, L$ 与矩形 $A B C D$ 有两个不同的交点 $S, T$ .求 $\frac{|P Q|}{|S T|}$ 的最大值及取得最大值时 $m$ 的值.

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和为105，且 $a_{10} = 2 a_{5}$ .
(Ⅰ)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(Ⅱ)对任意 $m \in N^{*}$ ，将数列 $\{a_{n}\}$ 中不大于 $7^{2 m}$ 的项的个数记为 $b_{m}$ .求数列 $\{b_{m}\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$ .

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