已知等比数列
的首项
，公比
，数列前n项和记为
，前n项积记为
．
（1）证明：
；
（2）求n为何值时，取得最大值；
（3）证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为
，则数列
为等比数列．
本题12分）已知从“神七”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
，某
植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子, 每次实验结果相互独立. 假定某
次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该
研究所共进行四次实验, 设
表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对
值.
⑴ 求随机变量的分布列及的数学期望
；
⑵ 记“不等式
的解集是实数集
”为事件
，求事件发生的概率
.
（本题12分） 已知抛物线
，顶点为O，动直线
与抛物
线
交于
、
两点
（I）求证：
是一个与
无关的常数；
（II）求满足
的点
的轨迹方程。
（本题12分）投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个
面中，有两个面的数字是
，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，
以两次
朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.
（1）求点P落在区域
上的概率；
（2）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒
豆子，求豆子落在区域M上的概率.
设
是从集合
到
的映射：
（1）不同的映射有多少个；
（2）若
，
（3）如果N中的每一个元素在M中都有原象，则这样的映射有多少个？
（本题10分）已知
（1）求
的展开式中
项的系数；
（2）设
，求
的值.