操作题：如图，△ABC内接于⊙O，ABAC，P是⊙O上一点．-优题课

如图， $BD$ 是半径为3的 $⊙ O$ 的一条弦， $BD = 4 \sqrt{2}$ ，点 $A$ 是 $⊙ O$ 上的一个动点（不与点 $B$ ， $D$ 重合），以 $A$ ， $B$ ， $D$ 为顶点作 $▱ ABCD$ ．

（1）如图2，若点 $A$ 是劣弧 $\hat{BD}$ 的中点．

①求证： $▱ ABCD$ 是菱形；

②求 $▱ ABCD$ 的面积．

（2）若点 $A$ 运动到优弧 $\hat{BD}$ 上，且 $▱ ABCD$ 有一边与 $⊙ O$ 相切．

①求 $AB$ 的长；

②写出 $▱ ABCD$ 对角线所夹锐角的正切值．

电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 $R_{1}$ ， $R_{1}$ 与踏板上人的质量 $m$ 之间的函数关系式为 $R_{1} = km + b$ （其中 $k$ ， $b$ 为常数， $0 ⩽ m ⩽ 120)$ ，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻 $R_{0}$ 的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为 $U_{0}$ ，该读数可以换算为人的质量 $m$ ，

温馨提示：①导体两端的电压 $U$ ，导体的电阻 $R$ ，通过导体的电流 $I$ ，满足关系式 $I = \frac{U}{R}$ ；

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压

（1）求 $k$ ， $b$ 的值；

（2）求 $R_{1}$ 关于 $U_{0}$ 的函数解析式；

（3）用含 $U_{0}$ 的代数式表示 $m$ ；

（4）若电压表量程为 $0 ~ 6$ 伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．

杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究．在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组）．在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比），绘制成统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．

甲组杨梅树落果率频数分布表

落果率	组中值	频数（棵 $)$
$0 ⩽ x < 10 %$	$5 %$	12
$10 % ⩽ x < 20 %$	$15 %$	4
$20 % ⩽ x < 30 %$	$25 %$	2
$30 % ⩽ x < 40 %$	$35 %$	1
$40 % ⩽ x < 50 %$	$45 %$	1

（1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于 $20 %$ ？

（2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所"用防雨布保护杨梅果实"的实际效果；

（3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD = 20$ ， $BC = DC = 10 \sqrt{2}$ ．

（1）求证： $ΔABC ≅ ΔADC$ ；

（2）当 $∠ BCA = 45 °$ 时，求 $∠ BAD$ 的度数．

小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有"15滴 $/$ 毫升"．输液开始时，药液流速为75滴 $/$ 分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；

（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．