如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN2∠BA-优题课

如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN=2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P．

（1）若∠APC=30°，求证：AB=AP；
（2）若AP=8，BP=16，求AC的长；
（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

如图，已知 $⊙ A$ 的圆心为点 $(3, 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} - \frac{37}{6} x + c$ 过点 $A$ ，与 $⊙ A$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $AB$ 、 $AC$ ，且 $AB ⊥ AC$ ， $B$ 、 $C$ 两点的纵坐标分别是2、1．

（1）请直接写出点 $B$ 的坐标，并求 $a$ 、 $c$ 的值；

（2）直线 $y = kx + 1$ 经过点 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ．点 $E$ （与点 $D$ 不重合）在该直线上，且 $AD = AE$ ，请判断点 $E$ 是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线 $y = k_{1} x - 1$ 与 $⊙ A$ 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $BC = 3$ ， $AF$ 平分 $∠ DAC$ ，分别交 $DC$ ， $BC$ 的延长线于点 $E$ ， $F$ ；连接 $DF$ ，过点 $A$ 作 $AH / / DF$ ，分别交 $BD$ ， $BF$ 于点 $G$ ， $H$ ．

（1）求 $DE$ 的长；

（2）求证： $∠ 1 = ∠ DFC$ ．

我市某超市销售一种文具，进价为5元 $/$ 件．售价为6元 $/$ 件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为 $x$ 元 $/$ 件 $(x ⩾ 6$ ，且 $x$ 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为 $y$ 元．

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过 $80 %$ ，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 为 $BC$ 上一点， $AB = 5$ ， $BD = 1$ ， $\tan B = \frac{3}{4}$ ．

（1）求 $AD$ 的长；

（2）求 $\sin α$ 的值．

一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字 $- 1$ ，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点 $M$ 的横坐标 $x$ ；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点 $M$ 的纵坐标 $y$ ．

（1）用列表法或树状图法，列出点 $M (x, y)$ 的所有可能结果；

（2）求点 $M (x, y)$ 在双曲线 $y = - \frac{2}{x}$ 上的概率．

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