已知在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝，O为BC上一点，B-优题课

题文

已知在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝，O为BC上一点，BO＝，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在长方形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质坐标与图形变化-旋转

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先化简，再求值： $(2 - \frac{2}{a - 2}) \div \frac{a^{2} - 9}{a - 2}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 3$ ．

计算： ${(2 - \sqrt{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + 2 \sin 45 ° - \sqrt{8}$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (0, 4)$ 三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过点 $B$ 的直线交 $y$ 轴于点 $D$ ，交线段 $AC$ 于点 $E$ ，若 $BD = 5 DE$ ．

①求直线 $BD$ 的解析式；

②已知点 $Q$ 在该抛物线的对称轴 $l$ 上，且纵坐标为1，点 $P$ 是该抛物线上位于第一象限的动点，且在 $l$ 右侧，点 $R$ 是直线 $BD$ 上的动点，若 $ΔPQR$ 是以点 $Q$ 为直角顶点的等腰直角三角形，求点 $P$ 的坐标．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上， $AD$ 的延长线与过点 $B$ 的切线交于点 $C$ ， $E$ 为线段 $AD$ 上的点，过点 $E$ 的弦 $FG ⊥ AB$ 于点 $H$ ．

（1）求证： $∠ C = ∠ AGD$ ；

（2）已知 $BC = 6$ ， $CD = 4$ ，且 $CE = 2 AE$ ，求 $EF$ 的长．

如图，为了测量某条河的对岸边 $C$ ， $D$ 两点间的距离．在河的岸边与 $CD$ 平行的直线 $EF$ 上取两点 $A$ ， $B$ ，测得 $∠ BAC = 45 °$ ， $∠ ABC = 37 °$ ， $∠ DBF = 60 °$ ，量得 $AB$ 长为70米．求 $C$ ， $D$ 两点间的距离（参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4})$ ．

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