如图，抛物线的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A-优题课

如图，抛物线的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（－3，0）和B．将抛物线绕点B逆时针方向旋转90°，点M₁，A₁为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．

（1）写出点B的坐标及求抛物线的解析式：
（2）求证：∠AMA₁=180°
（3）设点P是旋转后抛物线上DM₁之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM₁MD的面积最大．如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM₁MD的最大面积；如果不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 8 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2, 0)$ 和点 $B (8, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ， $BC$ 与抛物线的对称轴 $l$ 交于点 $E$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 是第一象限内抛物线上的动点，连接 $PB$ ， $PC$ ，当 $S_{ΔPBC} = \frac{3}{5} S_{ΔABC}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）点 $N$ 是对称轴 $l$ 右侧抛物线上的动点，在射线 $ED$ 上是否存在点 $M$ ，使得以点 $M$ ， $N$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔOBC$ 相似？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $AB = AC = \sqrt{2} + 1$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AB$ ， $AC$ 上，且 $AD = AE = 1$ ，连接 $DE$ ．现将 $ΔADE$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，如图2，连接 $CE$ ， $BD$ ， $CD$ ．

（1）当 $0 ° < α < 180 °$ 时，求证： $CE = BD$ ；

（2）如图3，当 $α = 90 °$ 时，延长 $CE$ 交 $BD$ 于点 $F$ ，求证： $CF$ 垂直平分 $BD$ ；

（3）在旋转过程中，求 $ΔBCD$ 的面积的最大值，并写出此时旋转角 $α$ 的度数．

因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量 $y$ （桶 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润 $=$ 销售价 $-$ 进价）

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，射线 $AD$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，点 $C$ 为劣弧 $\hat{BF}$ 的中点，过点 $C$ 作 $CE ⊥ AD$ ，垂足为 $E$ ，连接 $AC$ ．

（1）求证： $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ BAC = 30 °$ ， $AB = 4$ ，求阴影部分的面积．

在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间 $t$ （单位：小时）．把调查结果分为四档， $A$ 档： $t < 8$ ； $B$ 档： $8 ⩽ t < 9$ ； $C$ 档： $9 ⩽ t < 10$ ； $D$ 档： $t ⩾ 10$ ．根据调查情况，给出了部分数据信息：

① $A$ 档和 $D$ 档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；

②图1和图2是两幅不完整的统计图．

根据以上信息解答问题：

（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；

（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校 $B$ 档的人数；

（3）学校要从 $D$ 档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．