如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使D-优题课

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：

（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图 $2)$ ；

（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？

（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？

（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

图1是一商场的推拉门，已知门的宽度 $AD = 2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $AB = CD)$ ，将左边的门 $AB B_{1} A_{1}$ 绕门轴 $A A_{1}$ 向里面旋转 $37 °$ ，将右边的门 $CD D_{1} C_{1}$ 绕门轴 $D D_{1}$ 向外面旋转 $45 °$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.8$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4)$

某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元 $/$ 千克，乙种水果18元 $/$ 千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元 $/$ 千克，乙种水果20元 $/$ 千克．

（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？

（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？

如图，已知一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象交于 $A (4, 1)$ ， $B (n, - 2)$ 两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）请根据图象直接写出 $y_{1} < y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围．

已知二次函数 $y = - x^{2} + bx + c + 1$ ，

①当 $b = 1$ 时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若 $c = - \frac{1}{4} b^{2} - 2 b$ ，问： $b$ 为何值时，二次函数的图象与 $x$ 轴相切？

③若二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $b > 0$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $M$ ，以 $AB$ 为直径的半圆恰好过点 $M$ ，二次函数的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴、直线 $BM$ 、直线 $AM$ 分别交于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，且满足 $\frac{DE}{EF} = \frac{1}{3}$ ，求二次函数的表达式．

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