如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点-优题课

如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE．

（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，
①请直接写出所有“好点”的个数，
②如果使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”，请求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．

某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表

组别 $(m)$	频数
$1.09 ~ 1.19$	8
$1.19 ~ 1.29$	12
$1.29 ~ 1.39$	$a$
$1.39 ~ 1.49$	10

（1）求 $a$ 的值，并把频数直方图补充完整；

（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在 $1.29 m$ （含 $1.29 m)$ 以上的人数．

如图，在射线 $BA$ ， $BC$ ， $AD$ ， $CD$ 围成的菱形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 60 °$ ， $AB = 6 \sqrt{3}$ ， $O$ 是射线 $BD$ 上一点， $⊙ O$ 与 $BA$ ， $BC$ 都相切，与 $BO$ 的延长线交于点 $M$ ．过 $M$ 作 $EF ⊥ BD$ 交线段 $BA$ （或射线 $AD)$ 于点 $E$ ，交线段 $BC$ （或射线 $CD)$ 于点 $F$ ．以 $EF$ 为边作矩形 $EFGH$ ，点 $G$ ， $H$ 分别在围成菱形的另外两条射线上．

（1）求证： $BO = 2 OM$ ．

（2）设 $EF > HE$ ，当矩形 $EFGH$ 的面积为 $24 \sqrt{3}$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．

（3）当 $HE$ 或 $HG$ 与 $⊙ O$ 相切时，求出所有满足条件的 $BO$ 的长．

如图，抛物线 $y = x^{2} - mx - 3 (m > 0)$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ， $CA ⊥ y$ 轴，交抛物线于点 $A$ ，点 $B$ 在抛物线上，且在第一象限内， $BE ⊥ y$ 轴，交 $y$ 轴于点 $E$ ，交 $AO$ 的延长线于点 $D$ ， $BE = 2 AC$ ．

（1）用含 $m$ 的代数式表示 $BE$ 的长．

（2）当 $m = \sqrt{3}$ 时，判断点 $D$ 是否落在抛物线上，并说明理由．

（3）若 $AG / / y$ 轴，交 $OB$ 于点 $F$ ，交 $BD$ 于点 $G$ ．

①若 $ΔDOE$ 与 $ΔBGF$ 的面积相等，求 $m$ 的值．

②连接 $AE$ ，交 $OB$ 于点 $M$ ，若 $ΔAMF$ 与 $ΔBGF$ 的面积相等，则 $m$ 的值是　　．

有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．

	甲种糖果	乙种糖果	丙种糖果
单价（元 $/$ 千克）	15	25	30
千克数	40	40	20

（1）求该什锦糖的单价．

（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 是 $BC$ 边上一点，以 $DB$ 为直径的 $⊙ O$ 经过 $AB$ 的中点 $E$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $EF$ ．

（1）求证： $∠ 1 = ∠ F$ ．

（2）若 $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $EF = 2 \sqrt{5}$ ，求 $CD$ 的长．