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为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过 $18 m$ ，另外三边由 $36 m$ 长的栅栏围成．设矩形 $ABCD$ 空地中，垂直于墙的边 $AB = xm$ ，面积为 $y m^{2}$ （如图）．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）若矩形空地的面积为 $160 m^{2}$ ，求 $x$ 的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

问题：已知 $α$ 、 $β$ 均为锐角， $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $\tan β = \frac{1}{3}$ ，求 $α + β$ 的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 $1)$ ，请借助这个网格图求出 $α + β$ 的度数；

延伸：（2）设经过图中 $M$ 、 $P$ 、 $H$ 三点的圆弧与 $AH$ 交于 $R$ ，求 $\hat{MR}$ 的弧长．

探究函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 与 $y = x + \frac{a}{x} (x > 0, a > 0)$ 的相关性质．

（1）小聪同学对函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 进行了如下列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为　　，它的另一条性质为　　；

$x$	$\dots$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{17}{4}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{5}{2}$	2	$\frac{13}{6}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{29}{10}$	$\frac{10}{3}$	$\dots$

（2）请用配方法求函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值；

（3）猜想函数 $y = x + \frac{a}{x} (x > 0, a > 0)$ 的最小值为　　．

为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：

（1）直接写出表中 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

（2）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．

（1）求不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x - 1 ⩾ x - 2 ① \\ x + \frac{1}{2} > 2 (x - \frac{1}{4}) ② \end{matrix}$ 的整数解；

（2）先化简，后求值 $(1 - \frac{a}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ．