爱动脑筋的小明在学习了全等三角形和等腰三角形有关知识后作了如-优题课

爱动脑筋的小明在学习了全等三角形和等腰三角形有关知识后作了如下探索：
（1）已知，如图，△ABC中，∠BAC是锐角，AB＝AC，高AD、BG 所在的直线相交于点H，且AG＝BG，则AH和BC的关系是：_____________________；

（2）若把（1）中的“∠BAC是锐角”改为“∠BAC是钝角”（如图2），其他条件都不变， AH和BC的关系是否仍然成立，若成立，请在图2中用三角板和量角器画出完整的图形并证明；若不成立，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：三角形的五心

平面直角坐标系 $xOy$ 中，横坐标为 $a$ 的点 $A$ 在反比例函数 $y_{1} = = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $A'$ 与点 $A$ 关于点 $O$ 对称，一次函数 $y_{2} = mx + n$ 的图象经过点 $A'$ ．

（1）设 $a = 2$ ，点 $B (4, 2)$ 在函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象上．

①分别求函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的表达式；

②直接写出使 $y_{1} > y_{2} > 0$ 成立的 $x$ 的范围；

（2）如图①，设函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象相交于点 $B$ ，点 $B$ 的横坐标为 $3 a$ ，△ $A A^{'} B$ 的面积为16，求 $k$ 的值；

（3）设 $m = \frac{1}{2}$ ，如图②，过点 $A$ 作 $AD ⊥ x$ 轴，与函数 $y_{2}$ 的图象相交于点 $D$ ，以 $AD$ 为一边向右侧作正方形 $ADEF$ ，试说明函数 $y_{2}$ 的图象与线段 $EF$ 的交点 $P$ 一定在函数 $y_{1}$ 的图象上．

对给定的一张矩形纸片 $ABCD$ 进行如下操作：先沿 $CE$ 折叠，使点 $B$ 落在 $CD$ 边上（如图① $)$ ，再沿 $CH$ 折叠，这时发现点 $E$ 恰好与点 $D$ 重合（如图② $)$

（1）根据以上操作和发现，求 $\frac{CD}{AD}$ 的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点 $C$ 与点 $H$ 重合，折痕与 $AB$ 相交于点 $P$ ，再将该矩形纸片展开．求证： $∠ HPC = 90 °$ ；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的 $P$ 点，要求只有一条折痕，且点 $P$ 在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

平面直角坐标系 $xOy$ 中，二次函数 $y = x^{2} - 2 mx + m^{2} + 2 m + 2$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点．

（1）当 $m = - 2$ 时，求二次函数的图象与 $x$ 轴交点的坐标；

（2）过点 $P (0, m - 1)$ 作直线 $l ⊥ y$ 轴，二次函数图象的顶点 $A$ 在直线 $l$ 与 $x$ 轴之间（不包含点 $A$ 在直线 $l$ 上），求 $m$ 的范围；

（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 $l$ 相交于点 $B$ ，求 $ΔABO$ 的面积最大时 $m$ 的值．

日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数 $= L : (H - H_{1})$ ，其中 $L$ 为楼间水平距离， $H$ 为南侧楼房高度， $H_{1}$ 为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡 $EF$ 朝北， $EF$ 长为 $15 m$ ，坡度为 $i = 1 : 0.75$ ，山坡顶部平地 $EM$ 上有一高为 $22.5 m$ 的楼房 $AB$ ，底部 $A$ 到 $E$ 点的距离为 $4 m$ ．

（1）求山坡 $EF$ 的水平宽度 $FH$ ；

（2）欲在 $AB$ 楼正北侧山脚的平地 $FN$ 上建一楼房 $CD$ ，已知该楼底层窗台 $P$ 处至地面 $C$ 处的高度为 $0.9 m$ ，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部 $C$ 距 $F$ 处至少多远？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $∠ ABC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $DE ⊥ BC$ 于点 $E$ ．

（1）试判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ，若 $BE = 3 \sqrt{3}$ ， $DF = 3$ ，求图中阴影部分的面积．