已知函数
，
．
（1）求函数
的单调增区间；
（2）若
，解不等式
；
（3）若
，且对任意
，方程
在
总存在两不相等的实数根，求
的取值范围．
【2015高考新课标2，理21】
设函数
．
（Ⅰ）证明：
在
单调递减，在
单调递增；
（Ⅱ）若对于任意
，都有
，求
的取值范围．
【2015高考上海，理23】对于定义域为
的函数
，若存在正常数
，使得
是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知
是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为．设单调递增，
，
．
（1）验证
是以
为周期的余弦周期函数；
（2）设
．证明对任意
，存在
，使得
；
（3）证明：“
为方程
在
上得解”的充要条件是“
为方程在
上有解”，并证明对任意
都有
．
【2015高考北京，理20】已知数列
满足：
，
，且
．
记集合
．
（Ⅰ）若
，写出集合
的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）已知集合
，
，
，令
表示集合
所含元素的个数．
（1）写出
的值；
（2）当
时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．
【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为
，求的分布列和数学期望．