开门大吉是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，-优题课

题文

“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．

（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）

	0．10	0．05	0．010	0．005
	2．706	3．841	6．635	7．879

（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，
求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
（参考公式：．其中．）

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如图，点 $P$ （0，﹣1）是椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点， $C_{1}$ 的长轴是圆 $C_{2}$ ： $X^{2} + Y^{2} = 4$ 的直径， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是过点 $P$ 且互相垂直的两条直线，其中 $l_{1}$ 交圆 $C_{2}$ 于 $A, B$ 两点， $l_{2}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于另一点 $D$ ．
（1）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；
（2）求 $△ A B D$ 面积的最大值时直线 $l_{1}$ 的方程．

如图，在四面体 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D, A D = 2, B D = 2 \sqrt{2}$ ． $M$ 是 $A D$ 的中点， $P$ 是 $B M$ 的中点，点 $Q$ 在线段 $A C$ 上，且 $A Q = 3 Q C$ ．
（1）证明： $P Q ∥$ 平面 $B C D$ ；
（2）若二面角 $C - B M - D$ 的大小为60°，求 $∠ B D C$ 的大小．

设袋子中装有 $a$ 个红球， $b$ 个黄球， $c$ 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．
（1）当 $a$ =3， $b$ =2， $c$ =1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量 $ξ$ 为取出此2球所得分数之和．，求 $ξ$ 分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量 $η$ 为取出此球所得分数．若 $E η = \frac{5}{3}, D η = \frac{5}{9}$ ，求 $a$ ： $b$ ： $c$ ．

在公差为d的等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 10$ ，且 $a_{1} ， 2 a_{2} + 2 ， 5 a_{3}$ 成等比数列．
（1）求 $d ， a_{n}$ ；
（2）若 $d ＜ 0$ ，求 $| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \dots + | a_{n} |$ ．

已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）证明：对任意的 $t > 0$ ，存在唯一的 $s$ ，使 $t = f (s)$ ．
（3）设（2）中所确定的 $s$ 关于 $t$ 的函数为 $s = g (t)$ ，证明：当 $t > e^{2}$ 时，有 $\frac{2}{5} < \frac{\ln g (t)}{\ln t} < \frac{1}{2}$ ．

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