如图，已知椭圆的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又-优题课

如图，已知椭圆的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆上有一点，直线平行于且与椭圆交于两点，连

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当与轴所构成的三角形是以轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线在轴上截距的取值范围．

科目数学题型解答题难度较难

在等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{4} = 8$ , $\{a_{n}\}$ 的前10项和 $S_{10} = 55$ .

（Ⅰ）求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；
（Ⅱ）现分别从 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率

设函数 $f_{n} (x) = x^{n} + b x + c (n \in N_{+}, b, c \in R)$

（1）设 $n \geq 2$ ， $b = 1, c = - 1$ ，证明： $f_{n} (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内存在唯一的零点；
（2）设 $n = 2$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2}$ $\in [- 1, 1]$ ，有 $|f_{2} (x_{1}) - f_{2} (x_{2})| \leq 4$ ，求 $b$ 的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设 $x_{n}$ 是 $f_{n} (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内的零点，判断数列 $x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n} \dots$ 的增减性。

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

从第一个顾客开始办理业务时计时.
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2） $X$ 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，椭圆 $C_{2}$ 以 $C_{1}$ 的长轴为短轴，且与 $C_{1}$ 有相同的离心率。
（1）求椭圆 $C_{2}$ 的方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点，点 $A, B$ 分别在椭圆 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 上， $\overset{⇀}{O B} = 2 \overset{⇀}{O A}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

（1）如图，证明命题"a是平面 $π$ 内的一条直线，b是 $π$ 外的一条直线（b不垂直于 $π$ ），c是直线b在 $π$ 上的投影，若 $a ⊥ b$ ，则 $a ⊥ c$ "为真。
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

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