如图，A（－1，0），B（2，－3）两点都在一次函数与二次函-优题课

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x = - 1$ ，点 $C$ 坐标为 $(0, 4)$ ．

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $∠ ABP = ∠ BCO$ ，如果存在，求出点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $P$ 在 $x$ 轴上方，点 $M$ 是直线 $BP$ 上方抛物线上的一个动点，求点 $M$ 到直线 $BP$ 的最大距离；

（4）点 $G$ 是线段 $AC$ 上的动点，点 $H$ 是线段 $BC$ 上的动点，点 $Q$ 是线段 $AB$ 上的动点，三个动点都不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合，连接 $GH$ ， $GQ$ ， $HQ$ ，得到 $ΔGHQ$ ，直接写出 $ΔGHQ$ 周长的最小值．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ， $M$ 是 $AC$ 边上的一点，连接 $BM$ ，作 $AP ⊥ BM$ 于点 $P$ ，过点 $C$ 作 $AC$ 的垂线交 $AP$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）如图1，求证： $AM = CE$ ；

（2）如图2，以 $AM$ ， $BM$ 为邻边作平行四边形 $AMBG$ ，连接 $GE$ 交 $BC$ 于点 $N$ ，连接 $AN$ ，求 $\frac{GE}{AN}$ 的值；

（3）如图3，若 $M$ 是 $AC$ 的中点，以 $AB$ ， $BM$ 为邻边作平行四边形 $AGMB$ ，连接 $GE$ 交 $BC$ 于点 $M$ ，连接 $AN$ ，经探究发现 $\frac{NC}{BC} = \frac{1}{8}$ ，请直接写出 $\frac{GE}{AN}$ 的值．

某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

销售单价 $x$ （元)	40	60	80
日销售量 $y$ （件)	80	60	40

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 的关系式　　；

（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；

（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过 $a$ 元，在日销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求 $a$ 的值．

如图，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 经过 $ΔABC$ 的顶点 $C$ ，过点 $O$ 作 $OD / / BC$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，连接 $CD$ ，在 $OD$ 的延长线上取一点 $E$ ，连接 $CE$ ，使 $∠ DEC = ∠ BDC$ ．

（1）求证： $EC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径是3， $DG \cdot DB = 9$ ，求 $CE$ 的长．

为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地 $A$ 和人工智能科技馆 $C$ 参观学习如图，学校在点 $B$ 处， $A$ 位于学校的东北方向， $C$ 位于学校南偏东 $30 °$ 方向， $C$ 在 $A$ 的南偏西 $15 °$ 方向 $(30 + 30 \sqrt{3}) km$ 处．学生分成两组，第一组前往 $A$ 地，第二组前往 $C$ 地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是 $40 km / h$ ，第二组乘公交车，速度是 $30 km / h$ ，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．