已知抛物线：过点．（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；（2-优题课

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题文

已知抛物线：过点．
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点，且点到的距离等于？若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：参数方程

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如图，直线 $l : y = x + b$ 与抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 相切于点 $A$ ．
（Ⅰ）求实数 $b$ 的值；
（Ⅱ）求以点 $A$ 为圆心，且与抛物线 $C$ 的准线相切的圆的方程．

已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{3} = - 3$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 ${a_{n}}$ 的前 $k$ 项和 $S_{k} = - 35$ ，求 $k$ 的值．

设实数数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} = a_{n + 1} S_{n}$ $（ n \in N^{*} ）$ ．
（Ⅰ）若 $a_{1} ， S_{2} ， ﹣ 2 a_{2}$ 成等比数列，求 $S_{2} 和 a_{3}$ ．
（Ⅱ）求证：对 $k \geq 3$ 有 $0 \leq a_{k} \leq \frac{4}{3}$ ．

如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，一条准线的方程为 $x = 2 \sqrt{2}$

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P满足 $\overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{O M} + 2 \overset{⇀}{O N}$ ，其中 $M, N$ 是椭圆上的点．直线 $O M$ 与 $O N$ 的斜率之积为-0.5．问：是否存在两个定点 $F_{1}, F_{2}$ ，使得 $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 为定值．若存在，求 $F_{1}, F_{2}$ 的坐标；若不存在，说明理由．

设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 的导数 $f ` (x)$ 满足 $f ` (1) = 2 a, f ` (2) = - b$ ，其中常数 $a, b \in R$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程．
（Ⅱ）设 $g (x) = f ` (x) e^{- x}$ ．求函数 $g (x)$ 的极值．

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