如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，①若∠DCE3-优题课

如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，

①若∠DCE=35°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数：
③猜想∠ACB与∠DCE的大小关系．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：角的计算余角和补角

小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现： $ΔABC$ 内总存在一点 $P$ 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．

【特例】如图1，点 $P$ 为等边 $ΔABC$ 的中心，将 $ΔACP$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $ΔADE$ ，从而有 $DE = PC$ ，连接 $PD$ 得到 $PD = PA$ ，同时 $∠ APB + ∠ APD = 120 ° + 60 ° = 180 °$ ， $∠ ADP + ∠ ADE = 180 °$ ，即 $B$ 、 $P$ 、 $D$ 、 $E$ 四点共线，故 $PA + PB + PC = PD + PB + DE = BE$ ．在 $ΔABC$ 中，另取一点 $P'$ ，易知点 $P'$ 与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 $B$ 、 $P'$ 、 $D'$ 、 $E$ 四点不共线，所以 $P' A + P' B + P' C > PA + PB + PC$ ，即点 $P$ 到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2， $P$ 为 $ΔABC$ 内一点， $∠ APB = ∠ BPC = 120 °$ ，证明 $PA + PB + PC$ 的值最小；

【拓展】（2）如图3， $ΔABC$ 中， $AC = 6$ ， $BC = 8$ ， $∠ ACB = 30 °$ ，且点 $P$ 为 $ΔABC$ 内一点，求点 $P$ 到三个顶点的距离之和的最小值．

为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度 $OD$ 为18米，位于球场中线处球网的高度 $AB$ 为2.43米，一队员站在点 $O$ 处发球，排球从点 $O$ 的正上方1.8米的 $C$ 点向正前方飞出，当排球运行至离点 $O$ 的水平距离 $OE$ 为7米时，到达最高点 $G$ 建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度 $y$ （单位：米）与水平距离 $x$ （单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量 $x$ 的取值范围）．

（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点 $F$ 处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度 $h$ 的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AD$ 为 $∠ BAC$ 的平分线，以 $AB$ 上一点 $O$ 为圆心的半圆经过 $A$ 、 $D$ 两点，交 $AB$ 于 $E$ ，连接 $OC$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．

（1）判断 $BC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $OF : FC = 2 : 3$ ， $CD = 3$ ，求 $BE$ 的长．

为全面开展“大课间”活动，某校准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体工处根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图，请根据以上信息，完成下列问题：

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　，并将条形统计图补充完整；

（2）试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？

（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．

如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在 $A$ 处测得某无名小岛 $C$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，前进2海里到达 $B$ 点，此时测得无名小岛 $C$ 在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732)$