设椭圆的左、右焦点分别、，点是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6-优题课

设椭圆的左、右焦点分别、，点是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，的周长为16．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点且斜率为的直线被椭圆所截的线段的中点坐标．

科目数学题型解答题难度中等

在平面直角坐标系 $x O y$ 中,直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = t + 1 \\ y = 2 t \end{cases}$ ,( $t$ 为参数),曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 2 \tan^{2} θ \\ y = 2 \tan θ \end{cases}$ ,( $θ$ 为参数),试求直线 $l$ 和曲线 $C$ 的普通方程,并求它们的公共点的坐标.

已知矩阵 $A = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ ， $B = [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix}]$ ，求矩阵 $A^{- 1} B$ .

$A B$ 、 $B C$ 分别与圆 $O$ 相切于 $D$ 、 $C$ ， $A C$ 经过圆心 $O$ ，且 $B C = 2 O C$ ，求证： $A C = 2 A D$ .

设函数 $f (x) = \ln x - a x, g (x) = e^{x} - a x$ ,其中 $a$ 为实数.

（1）若 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上是单调减函数,且 $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有最小值,求 $a$ 的取值范围；
（2）若 $g (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是单调增函数,试求 $f (x)$ 的零点个数,并证明你的结论.

设 ${a_{n}}$ 是首项为 $a$ ，公差为 $d$ 的等差数列（ $d \neq 0$ ）， $S_{n}$ 是前 $n$ 项和. 记 $b_{n} = \frac{n S_{n}}{n^{2} + c}$ ， $n \in N^{+}$ ，其中 $c$ 为实数.
（1）若 $c = 0$ ，且 $b_{1}, b_{2}, b_{4}$ 成等比数列，证明： $S_{n k} = n^{2} S_{k} (k, n \in N^{+})$ ；
（2）若 ${b_{n}}$ 是等差数列，证明 $c = 0$ .

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