如图是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，轴于-优题课

如图是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，轴于点A，交的图象于点，轴于点B，交的图象于点．

（1）求证：D是BP的中点；
（2）求出四边形ODPC的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行线分线段成比例

如图，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 各顶点的坐标分别为 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 4, - 1)$ ， $C (- 4, - 4)$ ．

（1）作出 $ΔABC$ 关于原点 $O$ 成中心对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）作出点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'$ ，若把点 $A'$ 向右平移 $a$ 个单位长度后落在△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的内部（不包括顶点和边界），求 $a$ 的取值范围．

如图1，已知 $▱ ABCD$ ， $AB / / x$ 轴， $AB = 6$ ，点 $A$ 的坐标为 $(1, - 4)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，点 $B$ 在第四象限，点 $P$ 是 $▱ ABCD$ 边上的一个动点．

（1）若点 $P$ 在边 $BC$ 上， $PD = CD$ ，求点 $P$ 的坐标．

（2）若点 $P$ 在边 $AB$ ， $AD$ 上，点 $P$ 关于坐标轴对称的点 $Q$ 落在直线 $y = x - 1$ 上，求点 $P$ 的坐标．

（3）若点 $P$ 在边 $AB$ ， $AD$ ， $CD$ 上，点 $G$ 是 $AD$ 与 $y$ 轴的交点，如图2，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线 $PM$ ，过点 $G$ 作 $x$ 轴的平行线 $GM$ ，它们相交于点 $M$ ，将 $ΔPGM$ 沿直线 $PG$ 翻折，当点 $M$ 的对应点落在坐标轴上时，求点 $P$ 的坐标．（直接写出答案）

已知 $ΔABC$ ， $AB = AC$ ， $D$ 为直线 $BC$ 上一点， $E$ 为直线 $AC$ 上一点， $AD = AE$ ，设 $∠ BAD = α$ ， $∠ CDE = β$ ．

（1）如图，若点 $D$ 在线段 $BC$ 上，点 $E$ 在线段 $AC$ 上．

①如果 $∠ ABC = 60 °$ ， $∠ ADE = 70 °$ ，那么 $α =$ 　　 $°$ ， $β =$ 　　 $°$ ．

②求 $α$ ， $β$ 之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的 $α$ ， $β$ 之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形 $ABCD$ ， $AB = BC$ ， $∠ ABC = 90 °$ ，

①若 $AB = CD = 1$ ， $AB / / CD$ ，求对角线 $BD$ 的长．

②若 $AC ⊥ BD$ ，求证： $AD = CD$ ，

（2）如图2，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 9$ ，点 $P$ 是对角线 $BD$ 上一点，且 $BP = 2 PD$ ，过点 $P$ 作直线分别交边 $AD$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ ，使四边形 $ABFE$ 是等腰直角四边形，求 $AE$ 的长．

某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 $50 m$ ．设饲养室长为 $x (m)$ ，占地面积为 $y (m^{2})$ ．

（1）如图1，问饲养室长 $x$ 为多少时，占地面积 $y$ 最大？

（2）如图2，现要求在图中所示位置留 $2 m$ 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多 $2 m$ 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．